Pascal Üçgeni (Ömer Hayyam Üçgeni)

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.Pascal üçgeni denilse de asıl bulan kişi Ömer Hayyam'dır.


Pascal Üçgeninin Özellikleri

1)Pascal üçgeninde her satırın başında ve sonunda 1 sayısı yer alır.

2)Bir alt satırda ortada yer alan sayı bir üst satırdaki yan yana iki sayının toplamıdır.


3)Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler aynıdır.
Örneğin; 1 5 10 10 5 1 satırında baştan 2.terim ve sondan 2.terim aynı sayı yani 5 tir.

4)Pascal üçgenindeki katsayılar Binom Açılımı denilen iki terimlilerin toplamının yada farkının kuvvetlerini {(a+b)n veya (a-b)n} bulurken ortaya çıkan katsayıları belirlemeye yarar.


5)Pascal Üçgeninde değişik sayı dizileri görülür.

a)Yukarıdan başlayarak çapraz bir şekilde terimler toplamına bakıldığında Fibonacci Dizisi'nin terimleri elde edilir.
b)Yine çapraz bakıldığında Ardışık Sayılar Dizisi ve Üçgensel Sayılar Dizisi göze çarpar.

Resimde turuncu çapraz sayı dizisi ardışık sayılar,yeşil çapraz sayı dizisi ise üçgensel sayılar dizisidir.

6)Aynı yöndeki sayıların toplamı en sonda yer alan sayın ters yönünde bulunan sayıya eşittir.

7)Her satırda yer alan sayıların toplamı 2 sayısının kuvvetlerini verir.Bunu formül olarak 2 üssü n-1 şeklinde ifade edebiliriz.
Örneğin;
1.satır için ; 1 ------ 2 üssü 0 = 1
2.satır için ; 1 + 1 = 2 ----- 2 üssü 1 = 2
3.satır için ; 1 + 2 + 1 = 4 -------- 2 üssü 2 = 4
4.satır için ; 1 + 3 + 3 +1 = 8 ------- 2 üssü 3 = 8
5.satır için ; 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ------ 2 üssü 4 = 16





Platonik Cisimler (Düzgün Katı Cisimler)



Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere "Düzgün Katı Cisim" denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platon (Eflâtûn)’un isminden esinlenerek Platonik Cisimler de denilmiştir. Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar: düzgün dörtyüzlü, altı yüzlü(küp), sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Platon'un söylediği başka bir düzgün katı yok.Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.

Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur. Sonuç olarak düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.

Beş Katı Cismin özellikleri


1. Tüm yüzeyler düzgün çokgendir
2. Bir köşede kaç yüz birleşiyorsa diğer köşelerde de o kadar yüz birleşmelidir
3. Bütün yüzeyler aynı büyüklükte ve eşit olmalıdır.

İLGİNÇ BİR SORU:Acaba bir portakalı klasik yöntemin (ortadan iki kesişte bölme) dışında eşit dört parçaya bölebilir miyiz?

Çözüm:Yanıt, bir düzgün dörtyüzlünün çevrel küresinde saklıdır. Eğer bu kürenin merkezine bir ışık kaynağı yerleştirirsek ve düzgün dörtyüzlünün kenarlarının küre üzerine gölgelerini düşürürsek birbirine eş dört parça elde ederiz. İşte bu parçalar yardımıyla küreyi (portakalı) dört eşit parçaya bölebiliriz. Tabi bu yöntem yardımıyla portakalınızı 6, 8, 12 ya da 20 eşit parçaya da bölebiliriz. Tek yapmamız gereken dörtyüzlü yerine diğer Platon katılarını kullanmak.

Konveks Çokyüzlüler

Eğer çokyüzlünün herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası yine bu yüzlünün içinde kalıyorsa, bu çokyüzlüye konveks (dışbükey) çokyüzlü denir. Konveks çokyüzlülerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasında Euler Teoremi olarak bilinen bir bağıntı vardır.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayırt Sayısı=2 (Euler Formülü)

Her bir çokyüzlü için K + Y − A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. (İspatı tümevarım ile yapılabilir)

Bazı bilim adamlarına göre, bu bağıntı Descartes’a aittir. Bunu ileri sürmelerinin sebebi de, Descartes’a ait olan bir teoremin doğrudan sonuçlarından birinin de yukarıdaki bağıntı olmasıdır. Ancak bu bağıntıyı ilk kez 1750 yılında açıkça ortaya atan kişi Euler olduğu bilinmektedir. Euler’in amacı, çokyüzlüleri sınıflandırabilmekti. Ancak bunu yapabilmek için sadece yüzlerin sayısı yeterli değildi; ayrıt köşe sayıları da incelenmeliydi. İşte Euler incelemeleri sırasında bu üç sayı arasındaki bağıntıyı keşfetti. Bağıntının kesin ispatı ise ancak 1847 yılında C.von Saudt tarafından yapılabildi.

ARTIK YIL




1 yıl = 365 gün ve 6 saattir.
4 yılda bir bu 6 saat 4 x 6 = 24 saat,yani 1 gün birikmiş olur.
İşte bu 1 günün eklendiği yıllara "Artık Yıl" denir.O yıl 366 gün olur.
Artık yıl olan yıllarda Şubat ayı 29 çeker.

Gelelim bize verilen herhangi bir yılın artık yıl olup olmadığını nasıl anlayacağımıza.....

1) Eğer bir yılın son iki rakamı "00" değilse ve bu sayı 4 e tam bölünebiliyorsa bu yıl artık yıldır.

Örnek: 2008 yılı artık yıldır.Son iki rakamı "00" değildir ve 4 e bölünebilen bir sayıdır.

2) Eğer bir yılın son iki rakamı "00" ise bu sayının 400 e tam bölünmesi durumunda yine bu yıl yine artık yıldır.

Örnek: 2000 yılı artık yıldır.Son iki rakamı "00" ve 400 e bölünebilen bir sayıdır.

Matematik ve Mantık


İnsan aklının bir ürünü olan matematik, bir bilim alanı olarak, insanlık tarihi kadar eskidir. Matematik, başlangıçtan günümüze kadar doğrultusundan ve tutarlığından hiçbir sapma yapmadan sürekli gelişen bir bilim alanı olmuştur; aynı zamanda bütün bilimlerin gelişmesine öncülük etmiştir. Uygarlığın ulaştığı bugünkü düzeyde matematiğin önemi, rolü açıklanmaya gerek duyulmayacak kadar açıktır. Gelecekte de matematiğin yol göstericiliği olmadan hiçbir bilimin gelişebileceği düşünülemez. Matematik, kendi içinde tutarlı, çelişkilerden arındırılmış, başka hiçbir bilim alanında olmayacak kadar sarsılmaz bir yapıya sahiptir.

Matematiği bu derece önemli yapan, sağlam kılan şey, temelinde akıl yürütmeyle çıkartılan evrensel kuralların olmasıdır; ya da bir başka deyişle, kesin kurallar içinde aklın süzgecinden geçmiş olmasıdır, denilebilir. Akıl yürütme ya da usavurma, doğru düşüncelerden başka doğruların çıkartılmasıdır. Şimdi burada düşünce nedir, doğru düşünce nedir gibi soruların açıklanmasına girmeyeceğiz. Bunların açıklanması mantık bilim alanı içine girer. Ancak esas konumuz olan önermeler için kısa değinmeler yapmak yerinde olur.

Düşünce, insan aklında oluşan zihinsel bir olgudur; dil aracılığıyla ortaya çıkar, tümcelerle ifade edilir. Düşünceyi konu alan birçok bilim alanı vardır; bunlardan biri de mantıktır. Mantık, doğru ve sistemli düşünmenin adıdır; aynı zamanda doğru ve sistemli düşünmenin yollarını arayan, kurallarını koyan bilim alanıdır. Belki de en eski bilim alanlarından biridir. Mantık bilim alanı düşünceyi her yönüyle ele almaz; bir yargı taşıyan düşünceler mantığın konusu içindedir. Dolayısıyla, bu tür düşüncelerin dildeki ifadesi olan yargı tümceleri mantığın konusu içindedir. Yargı tümcelerine bundan böyle önerme diyeceğiz. Önermenin açık tanımı aşağıda verilecektir. Mantığın konusu önermelerdir. Akıl yürütme "öncül önermelerden yargı çıkarma (hipotezden hüküm çıkarma)" olarak ifade edilebilir. Mantık bilimciler akıl yürütmeyle doğru bilgi üretmenin bilimsel yollarını tümdengelim ve tümevarım diye ikiye ayırırlar. Gerçeğe varmak amacıyla aklın uyması gereken genel düşünce yasalarını ve işlemlerini araştıran Aristoteles (İ.Ö. 384-322), tümdengelimi esas alarak, bugün Klasik Mantık dediğimiz mantık türünün temellerini atmıştır. İki bin yılı aşkın bir süre aklın yoluna egemen olan bu mantık türü, ortaçağ sonlarına doğru, yeni bilgi üretiminde tümdengelimin tek başına yeterli olamayacağı, tümevarımın da önemli olduğu görüşünün yaygınlaşmaya başlamasıyla yeni bir ivme kazanmıştır. 18. yüzyıla girildiğinde, Francis Bacon (1561-1626) ile başlayan tümdengelime karşı çıkış ve tümevarımın öne çıkarılması, matematikçilerin konuya ilgi duymaya başlamalarıyla yeni bir döneme girmiştir.

Alman matematikçilerinden G. Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) ile başlayan yeni yaklaşım, yine Alman matematikçi Friedrich L.G. Frege (1848-1925) in niceleyicileri ve değişkenleri simgelerle göstermesiyle matematiği tamamen mantıksal bir temele dayandırma çabaları hem mantığın gelişimini hızlandırmış hem de matematiğe yeni bir anlayış kazandırılmıştır. Böylece bu dönemde, De Morgan (1806-1871), G. Boole (1815-1864), B. Russel (1872-1970) ile geliştirilen ve simgesel akıl yürütme denilen yöntemle matematikselleşen mantık Modern Mantık (ya da sembolik mantık, matematiksel mantık) adını almıştır. Matematik ve mantığın tarihsel gelişimleri pek çok farklılık göstermesine rağmen, bugün bu iki bilim alanını kesin çizgilerle birbirlerinden ayırma olanağı yoktur. Önceleri matematiğin mantıksal bir temele dayandırılması biçiminde başlayan gelişmeler, sonradan mantığın matematikselleştirilmesine yol açmıştır. Dolayısıyla bu iki alan birbirlerinin içine girmiştir. Gene de bugün, Klasik Mantık, Felsefe bilim alanı ve Modern Mantık da Matematik bilim alanı içinde düşünülür. Bu ünitede, Modern Mantığın temel kavramlarını tanıyacağız. Önermeleri, önerme işlemlerini, kullanılan simgeleri ele alacağız. Önermelerin matematikteki yerini, önemini göreceğiz. Matematiksel kanıtın ne olduğunu, kanıtlama yöntemlerini gözden geçireceğiz. Açık önermeler konusu üzerinde duracağız. 1.2. Önermeler İçin Temel Kavramlar Dilimizdeki tümceleri emir, istek, ünlem, soru, yargı tümceleri diye sınıflarız.

Bizim konumuz yargı tümceleri olacaktır. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim: (i) Ankara, Türkiye'nin başkentidir. (ii) Ankara, Türkiye'nin en kalabalık kentidir. (iii) Güneş kuzeyden doğar. (iv) Yağmur yağıyor. (v) 2 x 3 , 5 etmez. (vi) Buraya geliniz. (vii) Bugün günlerden nedir? (viii) Ah! güzel İstanbul. Yukarıdaki tümcelerin her birini okuduktan sonra "doğru mu?", "yanlış mı?" sorularını soralım. (i) ve (v) için yanıtınız "doğru", (ii) ve (iii) için "yanlış" olacaktır. (iv) deki yanıt o andaki duruma bağlıdır; o anda yağmur yağıyorsa "doğru", yağmıyorsa "yanlış" olacaktır. (vi), (vii), (viii) deki tümceler, için bu soruların anlamlı olmayacağı açıktır. Bu örneklerden anlaşılabileceği gibi kimi tümceleri taşıdıkları yargıya göre "doğru" ya da "yanlış" diye değerlendirebilmekteyiz. ((i) - (v) deki örneklerde olduğu gibi). İşte bu tür bir yargı tümcesine önerme diyeceğiz. Şimdi önermenin açık bir tanımını verelim. 1.2.1. Tanım Bir yargı taşıyan ve bu yargının doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak belirlenebilen tümcelere önerme denir. 1.2.2. Örnek Aşağıdaki tümcelerin önerme olup olmadıklarını belirleyiniz. (i) Kar beyazdır. (ii) Paris İngiltere'dedir. (iii) Nereye gidiyorsunuz? (iv) Uçan kuşlar kanatlıdır. (v) Sinemaya gidelim. (vi) Pırasa yararlı bir sebzedir. (vii) Yüzme tehlikeli bir spordur. (viii) { Bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce yanlıştır } Çözüm Bu tümcelerden (i) ve (iv) dekinin doğru, (ii) dekinin yanlış olduğunu hemen söyleyebiliriz. O halde, (i), (ii) ve (iv) deki tümcelerin her biri birer önermedir. (iii) ve (v) deki tümceler yargı tümcesi olmadıklarından önerme değildirler. (vi) ve (vii) deki tümcelerin taşıdıkları yargı yanıtlayan kişiye göre değişecektir. Kimine göre yüzme tehlikeli bir spordur, kimine göre de değildir. Fakat bir kimse bu tümce için ya "doğru" ya da "yanlış" diyebilecektir; hem "doğru" hem de "yanlış" diyemeyecektir. O halde (vi) ve (vii) tümceleri de birer önermedirler. (viii) deki tümceyi ele alalım. Önce bu tümcenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman bu tümce yanlıştır, çünkü kendisi de bir ayraç içinde yazılıdır. Şimdi bu tümcenin yanlış olduğunu varsayalım. Öyleyse bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce doğru olacaktır, demektir. Bu nedenle bu tümce doğrudur. Böylece (viii) deki tümce hem doğru hem de yanlış olmaktadır; bir başka ifadeyle, bu tümcenin yargısı kesin olarak belirlenememektedir. Bu nedenle bu tümce bir önerme değildir. Aşağıdaki tümcelerden hangileri birer önermedir?

• Güneş doğudan doğar, batıdan batar.
• Dünya yuvarlaktır.
• Kimi canlılar ölümsüzdür.
• Oksijen yakıcı, hidrojen yanıcı bir gazdır.
• Bahçeye çıkalım mı?
• Kapınızı kilitli tutunuz. Verilen bir önerme yalnızca bir yargı taşıyorsa, böyle bir önermeye yalın önerme denir. Birden çok yargı taşıyan bir önermeye de bileşik önerme denir. Bileşik önermeler yalın önermelerden "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlar yardımıyla elde edilirler. Bileşik önermeleri oluşturmak için kullanılan bu tür bağlaçlara mantık bağlaçları adı verilir. Örneğin, "Bugün hava soğuk ve yağışlıdır", "iki çift sayının toplamı bir çift sayıdır veya Ankara Türkiye'nin başkentidir." önermeleri bileşik önermelerdir. Bunlardan birincisi "ve", ikincisi "veya" bağlacıyla yalın önermelerden elde edilmişlerdir. Yine ikincisinden görüldüğü gibi iki yalın önermenin bir mantık bağlacıyla bağlanması için bu yalın önermeler arasında bir ilişki olması gerekmez. Ayrıca "ve" bağlacıyla birleştirilen önermelerde "ve" sözcüğü yerine "virgül" konulabilir: "Bugün hava soğuktur, yağışlıdır" örneğinde olduğu gibi.

Önermeleri ve mantık bağlaçlarını simgelerle göstermek, önerme işlemlerini simgelere dayandırmak hem kısalık hem de kolaylık sağlayacaktır. Bu nedenle genellikle yalın önermeleri p, q, r, ... gibi küçük harfler ile "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" mantık bağlaçlarını da, sırasıyla, "∧", "∨", "→", "↔" simgeleriyle göstereceğiz. Sözgelişi p: Bugün hava soğuktur, q: Bugün hava yağışlıdır yalın önermelerinden "ve" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme p ∧ q: Bugün hava soğuk ve yağışlıdır olur. p, q önermelerinden "ise" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme p → q: Bugün hava soğuk ise yağışlıdır biçiminde yazılır. Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığına o önermenin doğruluk değeri adı verilir. Doğru bir önermenin doğruluk değerini D, yanlış bir önermenin doğruluk değerini Y ile göstereceğiz. Yalın bir önermenin doğruluk değerini kolayca belirleriz. Bileşik bir önermenin doğruluk değeri ise, söz konusu bileşik önermeyi oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarına bağlı olarak tanımlanır. Bir önermenin doğruluk değeri seçeneklere bağlı olarak bir çizelge ile gösterilebilir. Böyle bir çizelgeye, o önermenin doğruluk çizelgesi adı verilir. Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin belirlenmesinde sıkça başvuracağımız doğruluk çizelgeleri önerme işlemleri için de yararlı bir araç olacaktır.

Eski ve Yeni Uzunluk Birimleri


ESKİ UZUNLUK ÖLÇÜLERİ

Çarşı arşını
Daha çok çarşı ve pazarda kullanılırdı. Metre hesabıyla çarşı arşını 68 cm'dir.

Bina ve mimar arşını
75,8 cm'dir. Bu arşının uzunluğunda zamanla değişiklikler oldu. Üçüncü Selim Han abanoz ağacından bir mimar arşını yaptırdı. Bunun ölçü olarak kullanılmasını istedi ve kütüphaneye kaldırttı. Bunun bir tarafı 24 parmağa ve her parmak 10 hat'ta bölündü. Böylelikle bu bölümle basımevinde kullanılan punto büyüklükleri de alınabilecekti. Diğer tarafı sadece 20 eşit parçaya bölündü. Değerli kumaşları bilhassa ipekleri ölçmede endaze kullanılırdı (endaze 65,25 cm'dir).
Türkiye'de 26 Mart 1931 tarih ve 1782 sayılı kanunla, arşın ölçü birimi kaldırılıp, yerine metre sistemi kabul edildi. 1933'ten sonra da arşının bütün çeşitleri tamamen ortadan kaldırılıp metre sistemine geçildi.
Zirai mimari, arşın ve endaze ölçü birimlerinin ast ve üst katları aşağıda gösterilmiştir.

ENDAZE
1 endaze = 8 rubu
1 rubu = 2 kirah

ÇARŞI ARŞINI
1 çarşı arşını = 8 rubu

ZİRAİ
1 merhale = 2 berid
1 berid (menzil) = 4 fersah
1 fersah = 3 mil
1 mil = 2500 zirai
1 kulaç = 2,5 zirai

PARMAK
1 parmak = 12 hat
1 hat = 12 nokta

Eski Osmanlı Uzunluk Ölçüleri:
1 Merhale 45480 m
1 Fersah 5685 m
1 Eski Mil 1895 m
1 Berid 227 m
1 Kulaç 1,89 m
1 Zirai Mimari (24 parmak) 75,35 cm
1 Arşın = 8 Urup 68 cm
1 Endaze 65 cm
1 Urup 8,5 cm
1 Hat 0,268 cm

GÜNÜMÜZ ÖLÇÜSÜ METREYE GÖRE KIYASLAMA
" 1 parmak = 12 hat = 0,03157 m
" 1 hat = 12 nokta = 0,00263 m
" 1 nokta = 0,00022 m
" 1 kulaç = 2,5 zirai =1,895 m (ip boyu, su derinliği, kuyu derinliği vb. için)
" 1 kara mili = 2500 zirai = 1895 m (kara yolculuğundaki mesafeler için)
" 1 fersah = 3 mil = 7500 zirai = 5685 m
" 1 berid (menzil) = 4 fersah = 12 mil = 30900 arşın = 22740 m
" 1 merhale = 2 berid = 45080 m
" 1 çarşı arşını = 8 rubu (urup) = 0,680 m (kumaş için)
" 1 rubu = 2 kirah = 0,085 m
" 1 kirah = 0,0425 m
" 1 endaze = 8 rubu (urup) = 0,650 m
(artan ipekli fiyatlarına karşılık konulan ölçü birimi)
1 linye= 0,003175 m
1 parmak (inch; in)= 0,0254 m= 2.54 cm
1 kerrab= 0,0425 m
1 elle= 0,6669 m
1 ayak (foot; ft)= 12 in= 0.3048 m
1 kadem= 0,37887 m
1 fathom= 1,8299 m
1 punto (point; pt)= 1/72,27 in= 0,035 cm

İNGİLİZ, AMERİKAN VE DİĞER ÖLÇÜLER
Uzunluk Ölçüleri ve Miller:
Parmak (Inch = Pus) 2,540 cm
Ayak (Foot = Kadem) = 12 Parmak 30,48 cm
Yarda (Yard) = 3 Ayak 91,44 cm
Ingiliz Mili (Kara) = 5380 Ayak 1.609,3 m
Ingiliz Mili (Deniz) = 6080 Ayak 1.853 m
Türk Mili 1.895 m
Fransız Mili 7.852 m
Alman Mili 7.500 m
Rus Mili 7.467 m
Yunan Mili 10.000 m
Coğrafi Mil 7.200 m

Günümüz Uzunluk Ölçüleri:
Metre (m).............: 1m
Dekametre (Dm)...: 10 m
Hektametre (hm)..: 10 Dm = 100 m
Kilometre (Km)....: 10 Hm = 100 Dm = 1.000 m
Desimetre (dm)...: 1/10 m
Santimetre (cm)..: 1/100 m
Milimetre (mm)...: 1/1.000 m
Mikron (mu).......: 1/1.000.000 m
1 megametre= 1 000 000 m
1 mikrometre (μm)= 0,0001 m
1 nanometre (nm)= 0,00001 m
1 nokta= 0,00022 m
1 pika= 0,0042 m
1 pikometre= 0,000000000001 m
1 pus= 0,0254 m
1 rubu= 0,085 m
1 thou= 0,0000254 m
1 cable= 23,15 m

Osmanlı Ölçü Birimleri


Suyun debisinin ölçülmesinde kullanılan ölçü birimleri ; Su kaynağının debisinin ölçülmesinde birim olarak “lüle” kullanılmıştır. 1 lüle yaklaşık olarak 26 mm çapında bir borudur ve dakikada 36 litre su akıtır. Günlük yaklaşık 52 m3 su olarak kabul edilir. Şehir içinde yer alan su taksim istasyonlarında bulunan dağıtım sandıklarında kullanılan boruların günlük debisi ise dağıtım yapılan bölgenin ihtiyacına göre ayarlanmıştır ve aşağıdaki gibidir.

1 Hilal 0,5625 lt/Dak. (Günde-0,81 m3)
Çuvaldız 1,125 lt/Dak. (Günde-1,62 m3)
1 Masura 4,5 lt/Dak. (Günde-6,48 m3)
1 Kamış 9 lt/Dak. (Günde-12,96 m3)
1 Lüle 36 lt/Dak. (Günde- 51,84 m3 ~ 52 m3)

Uzunluk ölçüleri ;

Uzunluk ölçü birimi olarak “arşın” kullanılmış olmakla beraber , çarşı arşını ile mimar arşını ( Zira-ı Mimari / Zira ) ve dolayısıyla alt birimleride birbirinden farklıdır.
Çarşı ölçüleri
1 Arşın 0,6858 mt.
1 Rub (urub) 0,0857 mt. (1/8 Arşın)
1 Kerrab (Kirâh) 0,0428 mt. (1/16 Arşın)
1 Endaze 0,6525 mt.
Mimar ölçüleri
1 Arşın (Zira) 0,757738 mt.
1 Parmak (1/24 zira) 0,031572 mt.
1 Hat (1/12 parmak) 0,002631 mt.
1 Nokta (1/12 hat) 0,000219 mt.
Çarşı ölçü birimi ve 68,58 cm’e karşılık gelen Arşın ölçü birimi ile yine bir çarşı ölçü birimi olan ve 65,25 cm’e karşılık gelen Endaze ölçüleri birbirlerine çok yakın değerlerdedir.

Ağırlık ölçüleri ;

1 Çeki (4 Kantar) 225,79832 kg.
1 Kantar (44 Okka) 56,44958 kg.
1 Batman (6 Okka) 7,69767 kg.
1 Okka/Kıyye (400 Dirhem) 1,282945 kg.
1 Dirhem 3,2073625 gr.
1 Miskal 4,5819464 gr.
7 Miskal (10 Dirhem) 32,073625 gr.
1 Denk (1/4 Dirhem) 0,80184 gr.
1 Kırat (1/4 denk) 0,20046 gr.
1 Buğday (1/4 kırat) 0,05011 gr.

Mehmet İzzet’in 1912 baskısı İlm-i Hisab kitabına göre ise ağırlık ölçüleri farklı tarif edilmektedir.

Evzan-ı Kebire ( Büyük ağırlık ölçüleri) ;
1 Çeki 225,978 kg.
1 Kantar 56,450 kg.
1 Batman 7,692 kg.
1 Kıyye 1,282 kg.
Evzan-ı Mutavassıta ( Orta ağırlık ölçüleri) ;
1 Dirhem 3,207 gr.
1 Miskal 4,810 gr. ( 1,5 Dirhem )
1 Denk 0,80175 gr. ( 1/4 Dirhem )
Evzan-ı Hafife ( Hafif ağırlık ölçüleri) ;
1 Kırat 0,20043 gr. ( 1/4 Denk )
1 Bağdadi 0,0501 gr. ( 1/4 Kırat )
1 Fitil 0,0125 gr. ( 1/4 Bağdadi )
1 Nakir 0,00626 gr. ( 1/2 Fitil )
1 Kıtmır 0,00313 gr. ( 1/2 Nakir )
1 Zerre 0,00156 gr. ( 1/2 Kıtmır )

Alan Ölçüleri ;

1 Hektar = ( 11 Dönüm ) = 10.105,337 m2 = ( 17.600 zirakare )
1 Dönüm = ( 4 Evlek ) = 918,667 m2 = ( 1.600 zirakare ) = ( 40 x 40 zira )
1 Evlek = 229,666 m2 = ( 400 zirakare ) = ( 20 x 20 zira )
1 Zirakare= 0,57416 m2

Asal Sayıların Gizemi ve Riemann Varsayımı


Matematiğin neresine bakarsanız bakın, derine indiğinizde karşınıza tamsayılar ve onların kuramı olan sayılar kuramı (yb. “number theory”) çıkacak. İki yazı önce Eğitimbilim dergisinde [Ocak 2006] tamsayıların hem riyâziyenin, hem de doğa bilimlerinin ortak temel taşları olduğundan biraz bahsetmiştim. Artı işaretli tamsayılar, yâni 1, 2, 3, … diye giden doğal sayılar ve onları (aşağıda göreceğimiz gibi) oluşturan asal sayılara etraflıca hele bir bakalım; neler yok neler orada.

Biliyorsunuz “asal sayı, p” başka doğal sayılarla tam olarak bölünemeyen bir doğal sayıdır; ({p}= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,…). Bir eksen üzerinde sıfırdan sonsuza dek giden doğal sayılar arasına serpiştirilmiş asal sayılar var. Daha baştan bu asal sayıların gizemi insanı büyülüyor. Birinci soru: p’lerden kaç tane var? Belli bir adet mi, sonsuz tane mi? Asalların sonsuz adet olduğu daha M.Ö. 300’de Öklid’ce ispatlanmıştı (çok önceki Sümerler de belki biliyorlardı). Yakın zamana dek çeşitli ispatlar da yapıldı. [Bunların yedisi için Bkz. Matematik Dünyası, (Güz 2005 sayısı, sf.62-64 ve 2005-I sayısı, sf. 84)].

İkinci, ve hâlâ cevabı bulunamamış soru:

Tamsayılar ekseni üzerinde asal sayıların dağılımı nedir? Doğal sayılar arttıkça aralarında asallar belli bir kurala göre mi geliyorlar? Meselâ, artarak giden asal sayıların 50. sini bulduğumuzda 51., 52., vb. nin hangi asal sayılar olacağını önceden kestirebilir miyiz? Peki bir dağılım/dizilim kuralı bulamıyorsak, acaba dağılım matematik (ve fizik) anlamında rasgele mi (yb. “random” mı)? Aradan 2300 veya fazla yıl geçmesine, ve nice matematikçilerin uğraşmasına rağmen, bu paragrafımızdaki soruların cevabı hâlâ “hayır” veya bilinmiyor.

1960’lara, yâni bilgisayar çağına kadar bilinen en büyük asal sayıyı bulmak gazete haberi oluyordu, ama artık, hesapların büyük olmasına rağmen bu, havadis sayılmıyor. Çok büyük bilgisayarlarla, deneye sınaya, milyarlarca asal sayı bulundu. Ama hâlâ asal sayıların dağılım/dizilim kuralı bulunamadı. Bu, riyâziyenin çözülememiş en temel ve en büyük meselesi olmaya devam ediyor. Kesin sonuca, keskin bir ‘anasav’a (teoreme) ulaşılamadıysa da bilinen bazı şeyler var: Euler’in, Gauss’un buldukları ve Riemann’ın 150 yıldır ispatlanamamış, ama çürütülememiş de olan varsayımı (yb. “hipotezi”). Riemann Varsayımı’nı ispatlayabilene Clay Vakfı’nın koyduğu bir milyon dolarlık ödül duruyor. [Gerçi böyle derin matematikler, para düşünerek yapılamaz; ancak âdetâ tasavvufî olan büyük bir matematik aşkı, tutkusuyla olur.]

Doğal sayılar iki çeşit: i) Asallar, ii) Asal olmayanlar ki, bunlara ‘bileşik’ sayılar da diyebiliriz, çünkü, Eski Çağ’dan beri bilindiği üzere asal olmayan herhangi bir doğal sayı yalnızca tek bir biçimde, belirli asalların çarpımından ibârettir. Örn. 720 sayısı 4 adet 2, iki adet 3, ve bir tane 5’in çarpımından oluşur, yâni 720 = 24 x 32 x 5. (Sâdece bu asal çarpanlar ‘bileşik sayı’ 720’yi verir.) Bu, “aritmetiğin temel ‘anasav’ı (teoremi)”. Bazıları, kimyaya teşbihle, asal sayıları ögeciklere (atomlara), bileşik doğal sayıları ise özdeciklere (moleküllere) benzetiyorlar; şu farkla ki kararlı ögecik cinsinden 92 adet (çabuk bozunur, yapaylarıyla birlikte 105 kadar) var, asal sayılar ise sonsuz miktarda. [Benim yeni nicem (kuvantum) kimyası (VIF) kuramımla kimyaya bakılırsa, teşbihin daha da ayrıntılı (ve sayılar kuramına dayanacak) olması muhtemel. (Bkz. E. Çaykara’nın “Oktay Sinanoğlu kitabı”(T. İş Bankası Kültür Yayınevi, İst., 25.baskı 2006))]

Asalların dağılımı/dizilimi hakkında bazı bilinenler: a) 2 ve 3 hâriç asallar birbirine komşu olmazlar. Ama, aralarında tek bir bileşik sayı olan asal sayı çiftlerinden sonsuz adet çift olduğu sanılıyor. Bu, “ikiz asal varsayımı”nın da henüz ispatı yok. b) Sayılar büyüdükçe asallar-arası asalsız boşluk da büyüyor. c) Gelelim C.F. Gauss’un buluşuna:

1801’de Gauss dedi ki, asalların dağılımını bilmesek de, belli bir doğal sayı (n)’e kadar kaç adet asal olacağını bulalım. Ve şu formülü sayılara bakarak buldu: n? p asalları sayısı, n sonsuza yaklaşırken (n/ ln n) ‘e yaklaşır. (Burada (ln) , e= 2.718… tabanlı logaritma) [‘logaritma’ lâfı ise büyük Türk matematikçisi, cebiri keşfeden , Türkistanlı (Harzemli) Harezmî’nin adının Batı’daki bozuk telâffuzundan geliyor]. Dolayısıyla n büyüdükçe asallar sayısı, (n)’e nispetle azalır, ama hiçbir zaman sıfır olmaz.

Gauss’un formülü bir tahmindi, ama 100 yıl sonra Hadamard ve de ayrıca C. de la Vallée-Poussin tarafından ispatlanıp “asalların sayısı anasavı (teoremi)” adını aldı. Tabii gene de formül ancak n sonsuza yaklaştıkça doğru. Herhangi bir (n)’de belli bir yüzde hâtâ var. Bu iş fen veya mühendislik olsa uygulamada idâre edebilir, ama saf matematikte kesin ispatlar, kesin anasavlar olmalı. Ve 150 yıl önce Riemann bu hâtâ miktarını kesinkes bulmağa karar verdi, çünkü öyle bir sonuç, asallar çok temel nesneler olduklarından, matematiğin birçok dalını da etkileyecekti. (n) bir milyon, milyar mertebesine vardığında Gauss’un formülü %3 hâtâ veriyor. Riemann önce bu hâtâyı düşürdü, hattâ %1’in çok altına. Ama hâlâ kesin bir sonuç, temel bir anasav yoktu. Derken, Riemann, çok önceki ve çok ilginç Euler’in bir formülünü karmaşık sayılara genişleterek “Riemann Varsayımı”nı ortaya attı, hâlâ ispatlanamamış büyük varsayım, matematiğin çeşitli dalları, şimdi de kuramsal fiziğin temelleri içinde önemli hâle gelmiş varsayım. Varsayımın ispatı için günümüzde bambaşka, değişik yönlerden uğraşılıyor. Yaklaşımları, durumu, varsayımın içeriğini bir dahaki yazımda ele alacağım inşallah.

Kaynak:
Prof. Dr. Oktay Sinanoğlu

Matematik ve Geometriye Nasıl Çalışılmalı?


MATEMATİK(CEBİR) DERSİ NASIL ÇALIŞILMALI

ÖSS matematiği çalışacak tüm öğrencilere tavsiye edeceğim en önemli nokta ilköğretim ikinci kademe (6.7.8.sınıf) matematiğini iyi bilip bilmedikleridir. Eğer bu konular bilinmeden lise müfredatı çalışılmaya başlanırsa yapı taşları eksik olmuş ve konular iyi öğrenilmemiş ve sorular çözülememiş olur.

Buradan hareketle matematik dersinin öncelikle öğretmenlerden ileri giderek çalışılmasının uygun olmadığı kanaatindeyim. Konular derslerde iyi dinlendikten sonra mutlaka günü gününe tekrar edilmeli ve tekrarlar önemsenmelidir. Farklı tarzlarda konu anlatımlarını görmek için farklı kaynaklardan öğretmenle işlenen konular takip edilmeli ve bolca soru çözülmelidir. Örnek sorulara, çözümlü örnekler takip edilmelidir. Görüntülü yayınlardan faydalanılmalı beklide ders birkaç kez dinlenilebilmelidir.

Önceki yıllarda çıkmış sorular konularına ayrılarak çözülmeli ve kesinlikle işlemediğiniz ve iyice çalışmadığınız konulardan soru çözülmeye çalışamamalıdır. Bu soru çözümleri esnasında sorular çözülemediği için zaten matematik korkumuz var artık uğraş dur. Bu anlamda yanlış uygulanan plan matematikten hepten uzaklaşılmış olunur.

Bununla birlikte farklı periyotlarda bazen ayda bir bazen haftada veya on beş günde bir geriye dönük ara ara tekrarlar yapılmalı ve sonuçları daha iyi hale getirmek için bolca tekrar soru çözülmelidir.
Matematikle ilgili problemleri olanlar birkaç sınıfta değerlendirmek mümkündür.

a) Konuları anlayamıyorum, işlem hataları yapıyorum.

Matematiğin temel kavramlarını bilemeyen öğrencilerin matematikte konuları iyi öğrenmeleri ve yeni konu öğrenmeleri oldukça zordur. Matematikçilere bu konulara nedir diye sorduğunuzda karşınıza çıkacak cevaplar aşağıdaki gibidir. Rasyonel sayılar ve işlemler, üslü ve köklü sayılar, çarpanlara ayırma ve özdeşlikler.

b) İyi işlem yeteneğim var, fakat konu eksiklerim var.

İyi işlem yeteneği olan öğrencilerimiz şunu bilmelidirler. Bu yetenekleriyle rahatlıkla yeni konu öğrenebilirler konulara korkmadan çekinmeden yaklaşmalı ve anlamaya çalışmalıdırlar. Önce hiç bilmediğiniz konulardan başlamak yerine, az bildiği konuları biliyor hale gelmek gerekecektir. O konu ile ilgili artık bu konuyu az biliyorum demeden biliyorum demelerini sağlamak gerekecektir.
Sonuç olarak diyebiliriz ki önce eksiklerimizi giderelim sonra yeni konuları öğrenmeye çalışalım.

c) Konuları iyi biliyorum fakat işlem hatalarım çok.

Konuları biliyor olmanız matematiğe karşı bir yeteneğinizin var olduğunu gösterir. İşlem hatalarını gidermenin en güzel çözümü bolca soru çözmektir. Ne kadar farklı kaynaktan soru çözerseniz o kadar çok soru çeşidi görmüş olursunuz ve artık daha az işlem hatası yaparsınız.

d) İşlem ve konularla alakalı problemim yok ancak çok yanlışım çıkıyor.

Soru çözmekte acele etmeyin soruyu çözmeye başlamadan önce mutlaka anlamaya çalışın ve soru çözerken dikkatinizi toplamaya çalışın ve soru çözme işini önemseyin. Nasıl olsa yaparım diye bakmayın. Dağınık çalışma yerine daha disiplinli bir çalışma sistematiği belirleyin ve mutlaka ona uymaya çalışın.

e) Matematiğim iyi ve geliştirmek istiyorum.

Daha fazla matematiğinizi geliştirmenin yolu farklı kaynakları taramak ve branş öğretmenlerinden matematik adına kendini geliştirmek için tavsiye alınız. Belki TÜBİTAK sorularına bakabilirsiniz.

GEOMETRİ DERSİ NASIL ÇALIŞILMALI?

Burada matematik için söylediklerimi tekrar dile getiriyor ve diyorum ki, geçmiş konular iyi öğrenilmeden kesinlikle yeni konular çalışılmaya başlanmamalıdır. Bu eksiklikler giderilmek için hemen bir ilköğretim LGS-OKS şimdi adıyla SBS sınavına hazırlık kitapları bir ay gibi kısa bir sürede defter tutarak bitirilmelidir. Bu işlem tamamlandıktan hemen sonra yeni konulara dersin öğretmeniyle eş zamanlı olarak çalışılmalı ve bu esnada farklı kaynaklardan sorular çözülmelidir.

Farklı kaynaklardan örnek soru çözümleri dikkatli bir şekilde incelenmeli ve çözüm yolları incelenmelidir. Bazen rakamlar değiştirilerek öğrencilerin hazırlayacağı geometri soruları olmalı ve çözümleri tekrar tekrar yapılmalıdır.

Geometri birazda görmek demektir, farklı açılardan bakabilmek demektir. Bu farklı bakış açısını kazanabilmek için ayni konudan birçok soru çözmekle de kazanılır. Formülleri ezberleme yerine benzer sorularla farklı bakış açıları kazanmaya gayret edilmelidir. Konuların işleniş sırasına dikkat edilmeli önden giderek veya konu atlanarak çalışılmamalıdır. Çünkü geometride konulara birbiriyle çok alakalıdır. Burada çıkmış sorulara bakmayı hatırlatmak yanlış olmasa gerek. Bundan sonrada geometriden korkmamak demektir.

Eğer öğrencilerimiz mühendislik alanlarını okumak istiyorlarsa özellikle doğadaki ve çevrelerindeki nesnelere birer geometrik şekiller olarak bakabilmeli ve geometri çözümünü onun çerçevesinde de değerlendirilebilmelidir. Hayatla iç içe girmiş bir geometri mutlaka konuların daha iyi anlaşılmasına cevap verecektir.

Matematik ve Firavunlar


Mısır bilimciler, bulunmuş olan birkaç matematik papirüsü sayesinde antik Mısırlılar'ın hesaplama ve ölçümleme sistemleri hakkında bazı şeyler bilmektedirler. Bunlar, o zaman ortaya çıkan bazı sorunların nasıl çözüldüklerini göstermektedir.

En ünlülerinden biri, bugün British Museum'da sergilenen Rhind Matematik Papirüsü'dür. Bu sorunlara gelirsek, Mısır bilimcileri antik Mısırlılar'ın ağırlık, ölçü ve hacim hesaplamalarından ortaya çıkan farklı miktarlarla nasıl baş ettiklerini keşfetmişlerdir. Bunlar aynı zamanda açıları nasıl ayarladıklarını da göstermektedir.

Bugünün modern dünyasında bir açıyı ölçmek için bir daireyi 360 dereceye tamamlayan iletkiler kullanmaktayız. Her derece 60 dakikaya ve her dakika da 60 saniyeye bölünmüştür. Antik Mısırlılar ise, açıları hesaplamak için oldukça farklı bir yöntem kullanıyorlardı. Bu, dik açılı bir üçgenin uzun kenar oranı üzerine dayanıyordu. Sonuç olarak her türlü açıyı eğim olarak hesaplayabiliyorlardı. Benzer bir sistem, otoyollarda tepe eğimini gösteren eski tip tabelalarda görülebilir. Bunlar bir tepenin eğimini l :6 gibi sayısal oranlarla gösterirlerdi. Bunun anlamı, ufuk çizgisinden dikeye doğru açının altı eşit parçaya bölünmüş olduğudur.

Aynı şekilde antik Mısır'da da bir eğimin açısı seked olarak bilinen tam bir oran sayısıyla ifade edilirdi.

Anlaşıldığı gibi, bu teknikler Marlborough Downs'daki antik İngilizler'de de gözlem yapmak için hayati önem taşımaktadır.

Antik Mısırlılar'ın kullandığı yöntemi anladığımızda, Büyük Piramit'detci 51 derece-51 dakika gibi "garip" eğim açılarının oluştuğu da ortaya çıkmaktadır. Bu, piramidin yüksekliği ve tabanı arasındaki sayısal orandan kaynaklanmaktadır. Bu da Büyük Piramit'de 7:11'dir. Bu, piramitler hakkında okuduğum hiçbir kitapta bulamadığım basit bir gerçektir ve bütün piramitler için geçerlidir. Piramitlerin sayısal anahtarı, tabanlarının yüksekliklerine olan orantısında yatmaktadır.

Pratik açıdan -ki, antik Mısırlılar kesinlikle pratik insanlardı- bu yöntem, piramit yapılırken doğru eğim açısının korunup korunmadığını sürekli olarak kontrol etmek için en kolay yoldu.

Ama burada cevaplanması gereken soru, Giza Platosu'ndaki piramitlerde antik Mısırlılar'ın neden farklı eğim açıları kullandıklarıdır. Farklı oranlar neden önemliydi? Formül oluşturulduktan sonra diğer hepsinin Büyük Piramit'le aynı oranla yapılması daha pratik ve kolay olmaz mıydı?

Mısır bilimciler, bizi firavunların her birinin kendi bireyselliklerini ifade etmek için bu yönteme başvurduklarına inandırabilir. Ama başka bir neden daha olabilir. Belki de kullandıkları oranlarda farklı sembolik bağlantılara yönelmek istiyorlardı.

7:11 oranına dayanan en azından bir piramit daha vardır. Giza'nın 160 kilometre güneyinde kalan Meidum'da bulunan bu piramit, Keops'un babası Senefru'ya adanmıştır. 5. Hanedanlık'dan Sahure'ye adanmış olan ve Abusir'de bulunan başka bir piramidin de eğim açısı 51 derece 42 dakika olarak hesaplanmıştır. Bu, Büyük Piramit'in açısının kesiridir ve aynı şekilde 7:11 oranını kullanmaktadır. Diğer birçok Mısır'da olduğu gibi Sahure Piramidi'nin de sorunu, dış yüzeyi çok fazla zarar gördüğü için doğru açının tam olarak hesaplanamamasıdır.

Kefren Piramidi'nin eğim açısı, M.Ö. 2278'den 2184'e kadar hüküm sürmüş olan 6. Hanedanlık'dan II. Pepi'ninkiyle aynıdır. Bu piramit şu anda kalıntı halindedir ama kalıntılardan eğim açısını hesaplamak mümkün olmuştur. Daha sonraki Mısır piramitlerinin yapısı, Giza Platosu'ndakilere göre daha basittir ve zaman içinde çok fazla zarar görmüşlerdir. Birçoğu şu anda moloz halindedir. Ama Kefren'deki eğim açısı (3:4:5 üçgenini temel almaktadır), Rhind Matematik Papirüsü'nde açığa kavuşmuştur. Buna göre, antik Mısırlılar'da bu oran iyi biliniyordu.

Antik Mısırlılar'ın 3:4:5 üçgenini bilmediklerini savunan Mısır bilimcilerinin hatırına hipotenüs uzunluğu (5) hiç verilmemiştir. Ama piramitleri de içine alan matematiksel sorunlar, yüksekliğin taban uzunluğuyla orantısı olarak açının "seked"i şeklinde açıklanmıştır. 3:4:5 üçgeninde seked, 3:4 orantısıdır. Ama hipotenüsün uzunluğu hiç verilmezken, bunun nedeni Mısırlılar'ın bu uzunlukla hiç ilgilenmemiş olmalarıdır.

Büyük Piramit veya Kefren Piramidi gibi kesin ölçüm becerileri gerektiren muhteşem anıtları tasarlayabilen ve inşa edebilen insanların kullandıkları üçgenlerin hipotenüs uzunluklarıyla ilgilenmediklerine inanabilir miyiz? Ölçümlerinde tutarlılık arayan her insan, sayı, biçim ve geometri arayışlarında her türlü uzunluk ölçülerini elbette ki hesaplayacaklardır. Bu, çalışma yöntemlerinin temelidir. O halde, üçüncü kenarın uzunluğunu gizliden gizliye bildiklerine dayanarak sadece 3:4 oranını kullanmaya devam edeceğiz.

Giza piramitlerinde kullanılan taban-yükseklik orantısı, antik Mısırlılar tarafından kesinlikle biliniyordu. Birçok matematik metninde verilen örneklerde bu açıktır. Tabii ki piramitlerde kullanılan oranların keyfi olarak seçilmiş olması da mümkündür. Ancak bu özellikler, Mısırlılar'ın sanatsal ifade biçimlerinin hepsinde ortaya çıkmakta ve sayı sembolizmine verdikleri önemi vurgulamaktadır.

Bu oranların belli dini kavramları ifade eden anlamlar taşımaları yüksek olasılıktır. Diğer bir deyişle, Giza'daki yapıların tamamı kasıtlı bir şekilde ruhsal bir konuyu ifade etmek için yapılmıştı. Bu, piramit tasarımcılarının üç piramidin her birinde neden farklı eğim açılarını seçtiklerini açıklamaktadır.

The Orion Mystery'de Bauval ve Gilbert, Giza piramitlerini Orion takımyıldızına ve özellikle Orion kuşağındaki yıldızlara bağlayan kanıtlar göstermişlerdir. Bu takımyıldız aynı zamanda İsis ve Osiris mitinde de karşımıza çıkmaktadır ve daha önce de söylediğimiz gibi, bu piramitler üç temel ilah grubunu temsil etmek için yapılmış da olabilir; Osiris, İsis ve Horus'u.

Matematik Nasıl Matematik Oldu?


İki macar soylusu matematik yarışması yapmaya karar verirler. Yarışma kurallarına göre taraflar sırasıyla birer sayı söyleyecekler ve en yüksek sayıyı söyleyen yarışmayı kazanmış sayılacaktır. "Peki" der soylulardan biri "sen başla" . Öteki soylu uzunca bir beyinsel çalışmadan sonra ürününü ortaya koyar "üç !". Sıra birinci soyludadır.

Onbeş dakika kadar kendisinden ses çıkmaz. Ama yüz ifadesinden bütün benliği ile düşünmekte olduğu bellidir. Nihayet acı gerçeği teslim etmek zorunda kalır : "sen kazandın".

Şimdi çoğunuz bu yazıyı okuduktan sonra garip şeyler düşünebilirsiniz :). "Soylu moylu bir insan bu kadar da ebleh olamaz".Neden ? Çünkü aşağı yukarı 5000 yıldır insanoğlu(soylular dahil) üçten yukarı saymasını biliyor.

Bugün insanoğlu yalnızca sayı saymasını bilmiyor. Geometri, cebir biliyor. Sonsuz küçüklerle uğraşıyor ve türev alıyor, tümlev alıyor. Türevsel denklem çözüyor. Olasılık kuramıyla, çizge kuramıyla, topolojiyle uğraşıyor.

Matematik dediğimiz bu uçsuz bucaksız bilgi denizini nasıl yarattı insanoğlu ? Bir görüşe göre içinde bulunduğu toplumun "üstünde" yaşayan matematikçilerin eliyle. Buna göre matematikçiler etkinliklerini içinde yaşadıkları toplumdan bağımsız olarak sürdürürler. Ama doğal olarak ortaya konan ürün teknolojiyi etkilediği için matematik toplumsal değişmede etkidi olur. Matematikçiler bu etkinlikleri süresince kendilerine hoş gelen ya da uygun gördükleri kavramlar, soyut varlıkları - biraz da keyfi biçimde- yaratırlar ve bundan sonra herşey mekanik bir mantıksal kıyas yöntemiyle önermeler zinciri halinde büyür, gelişir. Matematikçinin bu somut gerçeklikten uzaklığı, doğal ki onun ortaya işe yarar bir ürün koymasına engel değildir. Hatta çoğu kez bu ürün çok çeşitli uygulama alanları bulur. Böylece matematikçi içinde bulunduğu toplumu etkiler, ama metametik salt matematikçinin ürünüdür. Böylece döner, dolaşır toplumun gelişmesindeki itici gücün toplumdaki deha sahibi bilge kişiler olduğu sonucuna varırız.

Bu görüş gerçekliğin üstünkörü bir biçimde yorumlanmasından kaynaklanır. Matematikçiyi toplumdan soyutlayıp fildişi kuleye hapseder ve matematiksel gelişmenin matematikçinin iradesiyle kendiliğinden olduğunu varsayar. Oysa matematikçi ile içinde yaşadığı toplum ayrılmaz bir bütün oluşturur. Bu bütünlüğü gördüğümüz zaman ancak, nasıl olupo da toplumun teknolojik gereksinimlerini karşılayabilmek için matematiğin yavaş yavaş ama emin adımlarla bugünkü durumuna geldiğini anlayabiliriz.

Matematik yaşamın nesnel koşulları, onun varlığını gerektirince dünyaya geldi. İlk matematikçi belkide sürüsündeki hayvanları saymaya çabalayan bir çobandı ?

Tarımla uğraşan toplumların en ilkeli bile mevsimlerle ilgili sayısal bilgiye gereksinim duyar. Bu ise takvim yapma ile ilgili sorunların çözümünü gerektirir. İlkel toplumların hemen hepsinin takvim tutma, dolayısıyla astronomiyle ilgilendiklerini biliyoruz.

Fenikeliler gibi tüccar gemici toplumların ekonomilerinin bir muhasebe sistemine, mirası bölüşme kurallarına, denizcilik sanatına, kısacası aritmetik,geometri, astronomiye olan gereksinimleri tartışma götürmez. Bu gelişme ticarete dayanan her uygarlıkta yer alır. Babil'de ve eski Mısır'da aritmetik ve gometrinin, Hindistan'da da cebirin başlaması işte bu gelişme sonucudur. Eski Mısır'da Nil taşkınlarından sonra toprak sınırlarının yeniden saptanması sorunu da geometrinin Mısır'a özgü itici öğelerinden biriydi.

Toplumsal yaşamın gerektirdiği matematiksel gelişme belli bir düzeye eriştikten sonra matematik artık yalnızca uzmanların anladıgığı bir meta haline geldi. Toplumun egemenlerinin bir araya getirdiği ve beslediği bu uzmanlar toplumda bir kast oluşturdular. "Gizli Şeyler"i elinde tutan bu insanlar tekellerindeki bu bilgi birikimi dolayısıyla toplumda büyük güç kazandılar.

Şimdi buraya "gizli şeyleri" ellerinde tutan bu insanları yazımın başında sözünü ettiğim "toplumun üstünde yaşayan matematikçi" kavramı ile karıştırmamak gerek. Tam tersine bu kişiler "gizli şeyleri" ile toplumun gereksinme duyduğu işlevleri yerine getirdikleri için güçlüydüler. Örneğin Mısır'da zamanı kahimler ölçerdi. Zaman gündüzleri güneşi, geceleri de yıldızları gözleyerek ölçülürdü. Nil taşkınlarının ne zaman olacağınıda belirlerdi kahinler. Gene "gizli şeyşerin" içinde dairenin, çokgenlerin alanlarının, basit bazı cisimlerin hacimlerinin nasıl bulunacağı da vardı.Örneğin üstü kesik bir pramitin hacmini bulabiliyordu kahinler.

Ancak gene de matematiğin bu yalnızca uzmanlarca bilinir olma niteliği sayı ve şekil konusunda belli bir gizemcilik de yaratmadı değil. Özellikle pisagorcu gizemciliğin Yunan bilim ve Felsefesi üzerindeki etkisi dikkati çeker.

Yunan toplumu üretimde kölelerin kullanıldığı, bu nedenle de üretimi artırmak için teknolojik gelişmeye pek gereksinme duymayan bir toplumdu. Bu durum toplumun egemenlerinin somut gerçeklikten uzaklaşmalarına yol açmıştı. Bu toplumsal yapı Yunan matematiğine gerçekten özgün bir nitelik kazandırmıştı: Uygulamayı hor görmek. Yunanlıya göre bir ürün uygulanabiliyorsa matematik olmazdı. Olsa olsa zanaat olabilirdi. Bunun sonucu Yunanlu nesnel gerçeklikten kaçar, onu yadsır oldu.

Yunan toplumunun bu yapısı Yunanlıların soyutlama ve akıl yürütme de gösterdikleri ilerlemenin nesnel tabanını oluşturur. Aynı zamanda bu yapının Yunanlaıların salt akıl yürütmekle gerçeğe ulaşabilceğine olan inançlarını doğurduğunu söylemek de yanlış olmaz. Bu nedenle yunan toplumu matematiğe modern anlamda kanıtlama tekniği kazandıran ilk toplumdur. Matematiği ilerletmek için yalnızca akıl yürütmeye dayanan Yunanlılar, geliştirdikleri kanıtlama yönemiyle, matematiğin daha sonraki dönemlerdeki gelişmesinde birincil etken olmuşlardır.

Yunanlı geometricilerin bu yolla elde ettikleri eşsiz başarı Yunanlıların nesnel gerçeklikten büsbütün uzaklaşmalarına yol açar. Örneğin Pisagorculara göre ,gerçek,güzellik ve iyi bir bütün halinde "sonluda" ve " duranda" aranmalıdır. Bu eğilim yunanlı geometrcilerin akıl yürütmelerindeki durağanlığı ve hareketsizliği açıklar. Örneğin Zeno, çok yaygın bilinen bir örnekte, bir noktadan atılan bir okun, izlediği her noktada duruyor olması gerektiğinden, hiç bir zaman hedefe ulaşamayacağını savunur;yani hareketi yadsır. Hatta öklid bile çemberi, bir noktadan eşit uzaklıkta hareket eden noktanın çizdiği eğri(yer eğrisi) olarak tanımlamaz da, hareket kavramını harekat kavramını gerektirmeyen bir tanım verir. Çember Yunanlıya göre düşünsel bir olarak hep vardır çünkü.

Öte yandan Hindistan'da tüccar bir toplum görüyoruz. Bu toplumsal yapının sonucu Hindular ticaret için gerekli aritmetiği ve toprak ölçmek için gerekli olan geometriyi geliştirmişlerdi. Hindular matematiğe Yunanlılardan çok farklı bir biçimde yaklaşıyorlardı : Matematik onlar için yaşamı kolaylaştıran bir araçtan başka bişey değildi. Bu nedenle Hindular matematiğin "teorik" yanı üzerinde pek durmadılar; Kanıtlara göre uzun boylu uğraşmadılar. Sayılara ne taptılar nede sayılardan korktular: İrrasyonel sayı herhangi bir sayı idi onlar için.

Ticaret kullanışlı bir sayı sistemi gerektiriyordu. Bugün bildiğimiz sayı sistemini geliştirdiler, sıfır kavramını icad ettiler.Dolayısı ile analiz ve cebiri geliştirdiler. Bu kavramlar daha sonra Araplar aracılığıyla batıya tanıtıldı ve özellikle 13.yy İtalyasında büyük ilgi gördü. Buradan da Avrupa'ya yayıldı.

MATEMATİKSEL SANAT


Önyargılarımızı bir tarafa bırakıp matematiğin insanlara sıkıcı görünme nedenini açıklamaya çalışalım. Basit bir neden olarak matematik dünyasını kolay algılayamadığımızı ve hissedemediğimizi söyleyebiliriz. Bunun nedeni ise, matematiğin kendi yapısı ve bu yapıyı ören profesyonel matematikçilerin tavrıdır. Matematikçiler ayrı bir dünyada gibidirler, olayları algılayışları ve ifade edişleri farklıdır.

Bu ifadenin gündelik yaşam dilinden farklı olmasını yadırgamak yersiz olur. Matematikteki soyutluk, beş duyumuz aracılığıyla edindiğimiz bilgileri anlamlandırmakta ve aktarmakta kullandığımız dildeki görece anlatımlardan kurtulmak için gereklidir. Matematik evrensel bir dil olma niteliğini bu şekilde kazanmaktadır. Matematik yeterince bilgi edinmeden ve çalışmadan anlaşılamaz.

Bireyler olarak o kadar küçüğüz ki içine doğduğumuz dünyanın sadece küçük bir parçasını algılayabiliyoruz. Bu dünya bizim anlama kapasitemizden büyüktür ve doğal olarak tüm detayları anlamamız imkansızdır. Ama matematikle birlikte bu koca dünyanın nasıl birşey olduğu hakkında genel bir duyuma sahip olabiliriz. Tanımlamayı, analiz etmeyi, çıkarımlar yapmayı, dizgelemeyi, daha dolgun, anlamlı ve işlevsel düşünceler üretmeyi öğrenebiliriz. Böylece zekanın derinliklerinde ve sınırlarında gezinerek kendi sınırlarımızı zorlamak ve genişletmek imkanı buluruz.
Mathart, matematiksel sanat, karşımıza çıktığı biçimiyle, matematikçinin içinde yaşadığı dünyayı profesyonel matematikçilerin çemberi dışına taşımak için yapılan güçlü bir girişimdir. Matematikle sanatın ilişkilendirildiği makalelerde, Rönesans dönemi sanatçılarının çalışmaları, özellikle altın oran ve onun geleneksel sanat tekniklerinde kullanılışı, doğadaki geometri, fraktallar ve bunların şaşırtıcı görünümleri ve elbette matematik ve müzik ilişkisi konularından bahsedilir. Fakat matematiksel sanat farklı bir önerme olarak karşımıza çıkmakta. Çıkış noktası, kuramsal bağlamı ve yolu matematiksel; tekniği ve ürünü sanatsal olan matematiksel sanat ile soyut kavramlar ve düşünce formları fiziksel materyallere ve görünümlere dönüşmektedir. Böylece bir yandan matematikçiler "diğerleriyle" farklı bir platformda iletişim kurabilme, öte yandan yeterli bilgiye sahip olmayan insanlar, matematikçilerin kafasının içinde olan biteni hissedebilirle şansı yakalamaktadırlar, ilk bakışta soğuk ve inorganik görünen matematiksel sanat, Heleman R. P. Ferguson, Anatolii T. Fomenko'nun çalışmalarında sıcak ve canlıdır. Ünlü matematikçi Fomenko, bize matematik dünyasından enstantaneler taşırken, sanatçı Ferguson heykelleriyle matematiksel düşünceyi yüceltir. Yeni bir bakış açısıyla M.C. Escher'in eserlerini de bu konuya dahil edebiliriz. Ne de olsa Escher kendini matematikçilere daha yakın hissetmiştir. Bu insanlar bize matematiksel düşüncenin ve sanatsal becerinin doğurduğu etkileyici sonuçların örneklerini vermektedirler. Gelin bu örnekleri inceleyen kısa bir gezintiye çıkalım.

Matematik Dünyasından Fotoğraflar:
İlk durağımızda ünlü Rus matematikçi Anatolii T. Fomenko'nun çalışmaları var. Özgeçmişinden anlaşıldığına göre Fomenko, tam bir harika çocuk ve öğrencilik yaşamı ödüller ve madalyalarla dolu. Matematik eğitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü'nde tamamlayan matematikçinin başarılı akademik kariyeri boyunca 140'dan fazla yayınlanmış makalesi ve 16'yı aşan kitabı bulunmaktadır. Böylesi güçlü bir matematikçi kimliğin yanında resim, amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle küçük yaşlardan beri sürdürülen bir uğraş olarak belirir. Matematiği hep çizerek ifade etmeye çalışan Fomenko bunun nedenini açıkça belirtir:

" ... Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim ilgi çekici matematik dünyasının fotoğraflarına benziyorlar. Benim için önemli olan sanatçı olmak değil ama bu dünyanın görüntülerini sunmaktır. Böylece diğer insanlar da bu dünyaya katılabilirler".

Fomenko ileTopoloji:
Fomenko daha çok matematikteki çalışma alanı olan topolojik nesneleri ve olayları resmeder. Topoloji çağdaş matematiğin en hızlı gelişen ve yaygınlaşan alanlarından biri olarak bilinir. Kabaca "esnek madde geometrisi" olarak tanımlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamına gelmeyen ve esnek bir maddeden yapıldığı düşlenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüştürülebilir. Yırtmadan ve kesmeden, ezip büzerek veya çekip genişleterek yapılan bu dönüşümü bir fonksiyon olarak düşünebiliriz ve buna da homeomorfizm denir. Bir karenin daireye, kübün pramite, bir torusun kahve fincanına, daha da ilginci bir noktası atılmış bir kürenin reel düzleme (R2) homeomorfik olması gibi...

Topoloji öğrenmek insanın algısını biraz farklılaştırıyor çünkü konu olan nesneler ve bunların elde edilme yöntemleri olağan dışı özellikler gösteriyor. Tecrübe etmek için Şekil 2'de görünen dikdörtgenleri ok yönünde yapıştırın. Fiziksel anlamda bu işlemleri sonuçlandırmak genelde mümkün değildir. Bu yüzden düş gücünüzü yardıma çağırmanız gerekecek. Bu yöntemle oluşan Möbius Şeridi tek tuzlu, içi dışı olmayan bir nesnedir. Yani içi ve dışı aynı yüzeydir. Bir diğeri ünlü Klein Şişesi, iki Möbius Şeridi'nin yapıştırılmasıyla elde edilir, iki Möbius Şeridi kenarlarından yapıştırılabilir mi? Deneyin!! Kelin Şişesi için şekilde tariflenen yapıştırma yönüne dikkat edilirse şişenin kendini kesmemesi gerektiği görülebilir. Fakat bunu üç boyutlu uzayda göstermek imkansızdır. Klein şişesi dört boyutlu içi dışı olmayan bir nesnedir. Çizimde kendini keser gibi görüldüğü için algılaması zor olan bu durumu dikkatlice düşününce siz de kavrayabilirsiniz. Dördüncü boyutta bu şişeye su doldurmak oldukça eğlenceli olurdu.

Matematik dünyasını fotoğraflamak:
Tahmin edeceğiniz üzere topoloji, matematikçilerin oyun düşkünlüğüyle örtüşen eğlenceli bir uğraş ve bir yığın görsel malzemeyle dolu. Tabi ki matematikçiler için ası! heyecan verici olan bu oyunların içindeki teori. Fomenko ise doğası kolay anlaşılmayan bu dünyayı resmetmeye çalışıyor. Resim yaparken bir yolculuğa çıktığını ve başlangıçta ne olacağını hiç bilmediğini söyleyen sanatçı, yol boyunca edindiği izlenimleri, tecrübeleri aktarmak istiyor ve bunu fotoğraf çekmeye benzetiyor. Gördüklerini ve hissettiklerini belgelemek için çiziyor. Resimlerinde kurguladığı mekanlarda Rus masallarından, mitolojiden ve antik çağın öykülerinden faydalanıyor. Fomenko'nun resimlerinde mekanlar alabildiğine büyük, insanlar alabildiğine küçük görünüyor Fomenko bu hissi şöyle vurguluyor:

" Biz şu öğrenen adamlar, tahmin edemeyeceğimiz şeylerin her an olabileceği, fırtınalı bir dünyada yaşıyoruz"
Resimlerin kaotik yapısı, izleyiciyi zor durumda bırakacak kadar karışık birçok detayla dolu olması bu fikre dayanıyor olmalı. Bizler teknoloji çağının çocukları bildiklerimizle ne kadar çok övünürüz, oysa bilmediklerimizin fazlalığı merakımızı kamçılamalı.

Müzik ve matematik
Müzik ve matematik ilişkisi Fomenkonun resimlerinde de gündemdedir. Aktif olarak Moskova Üniversitesi Topaz grubunda müzik yapmış olan Fomenko'nun resimleriyle müzik arasında önemli bağlar bulunur. Fomenko'ya göre müzik ve matematiğin temel motifi sonsuzluktur:
" Profesyonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk kavramıyla ilgilenirler. Bu yüzden tam olarak tanımlanamasa da sonsuza ait belirgin ve güçlü bir hisse sahiptirler. Pek açıkça görülmese de bu durum müzik için de böyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama düzeyine sahiptir." (4)
Fomenko'nun görüntülediği dünyada onun izlenimlerine tanık olmak pek kolay değil. Oldukça detaylı, karışık iç içe geçmiş yapılar; koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler, zor kavramlar... Sanatçının kendisinin de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik bilmeden anlaşılamayacağını itiraf etmektedir. Yine de garip bir dünyadan gelmiş fantastik öyküler anlatan bu "fotoğrafların" izleyici üstünde bırakacağı etkiyi kim tayin edebilir!

Bronz ve Taş Üstüne Kuramlar
İkinci durağımız Amerikalı sanatçı Heleman R. P. Ferguson. Sanat eğitimini resim ve heykel üzerine Hamilton Koleji'nde yapan Ferguson, matematik eğitimini Washington Üniversite'sinde almış. Bilgisayar destekli üretim ve bunun için yazılacak algoritmalar üzerine araştırmalar yapmış. Yaşamını heykel yaparak sürdüren sanatçı, matematiğin kendine özel estetik bir tarafı olduğuna inanıyor. Ferguson "Matematiğin kaynağı, enerjisi, zekası, sofistike yapısı estetik sanat eserlerinin yaratılışını geliştirmek üzere kullanılırsa ne olur?" sorusunun cevabını arar. Sanatçının haziran 1991'de Newyork Bilimler Akademisi'nde açılan "Bornz ve Taş Üstüne 16 Kuram" adlı sergisi bu soruya bir cevap niteliği taşıdığı söylenebilir. Ferguson yaşamsal görünümlerin tasarım dili olarak kabul ettiği matematiği, bir sanat ve bilim formunda heykelleştirirken, bize de bu formlarda zihinsel güzelliği duyumsatarak önyargılarımızdan kurtulmamızı sağlamayı amaçlamaktadır. Bu misyonu şöyle ifade eder:

" Güzellik ve gerçek: heykellerimin birleştirip yücelttiği iki olgu. Ruhu harekete geçiren heykellerin güzelliği ve zihni harekete geçiren matematiksel gerçek. Benim heykellerimin yaptığı bu."(2)
Matematiksel estetik Umbilic Torus Nist NC heykelinde vücut bulmuştur. Heykelin formunda hemen okunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, antik rengi, Ferguson'un yaratıcılığı ve yetkinliği hakkında ilk fikirleri vermektedir. Heykelin en ilginç yanı ise onun yaratılış sürecidir. Bilgisayar destekli üretim tekniklerinin uygulandığı heykel formu

Hilbert Uzay Doldurma Eğrisi'nin inşası
ax3+bx2y+cxy2+dy3 kübik reelbinom denkleminden elde edilir. Heykelin formu ve doku belirlendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayara aktarılır ve sayısal kontrollü oyma makinası ile pozitif çıktı alınır. Bu pozitif çıktı geleneksel heykel teknikleriyle bronza dökülerek son halini alır.

Hilbert Uzay Doldurma Eğrisi'nin inşası
Heykelin formu yanında dokusu da ilginç bir konu olan Peano-Hilbert uzay doldurma eğrisinin 5. dereceden uygulanması ile elde edilir (Şekil 3). Uzay doldurma eğrisi bir doğrudan bir düzleme tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Şekilde görüldüğü gibi eğri sürekli tekrarlanan bir işlemle inşa edilmektedir. Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlandığında eğrinin bir noktadan bir ve sadece bir kere geçerek düzlemi dolduracağı ispatlanabilir. Tek boyutlu eğri giderek iki boyutlu düzleme yakınsamaktadır ve bu da bizi çelişkiye götürür. Bu ve buna benzer eğriler bugün fraktallar olarak bildiğimiz yapıların temelini oluşturmuşlardır. Heykel doğduğu kuramdan daha fazlasını aktarıyor:
" Bir heykel nüansa, gizeme, sese, sıcaklığa, tarihe, birkaç anlam düzeyine ve kendi orijininin tanımladığından daha fazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptığım sadece heykel değil. Ben soyut matematiğin tahmin edilemeyen fiziksel formlara dönüşme macerası ile ilgileniyorum."(2)
Ferguso'un heykellerinin yarattığı heyecan sadece formların başarısından değil, onların gerisindeki ilginç kuramlardan doğuyor. Eserlerindeki yalınlık, süreklilik, yumuşaklık; bronzun, taşın ve kuramın soğukluğuna karşı duruyor.

Tanıdık Bir Sima: M.C. Escher
Son olarak MC Escher'in galerisine uğruyoruz. Bilimle ilgilenen ve popüler bilim yayınlarını takip edenler Escher'i ve onun eserlerini yakından tanır. Escher'in farklı kişiliği bu ilgiyi hak ediyor doğrusu. Sanatçı hakkında söylenegelenleri yinelemekten çekinmekle birlikte, onu gündeme getirmemizin nedeni eserlerinin matematiğin görselleşmesi konusunda verilen ilk örnekler olduğunu düşünmemiz. Sanatçının kendisi de matematiğe yakınlığını şöyle ifade etmiştir:

" Bizi saran belirsizlikleri göğüsleyerek ve yaptığım gözlemleri analiz ederek matematiğin egemen olduğu alana eriştim. Bilim eğitiminden yoksun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan daha çok matematikçilere yakın hissettim".(1)
Sanatçının çalışmalarını birer ilk yada önder olarak kabul edebiliriz. Yine de Escher'in matematiksel bir kaygıyla yola çıktığını söylemek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları yaratabilmek için matematikten faydalanmıştır. Kısa ve duru bir bakışla yeniden gözden geçirirsek Escher'in işlerini birkaç grupta ele alabiliriz:

Düzlemi düzenli olarak bölmek:
Bu teknikle yaptığı resimlerinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıp tanımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak fantastik bir şekilde icra eder. Bu grupta topladığımız çalışmaları arasında en etkileyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir. Hiperbolik düzlem Öklid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir (Şekil 4).

Metamorfozlar
Bu seride yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilir. Doğada değişim anlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa evrilir.

Paradokslar
Escher'in en vurucu işleri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler Bach'ın müziğinde de yer alır. Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanarak kendi adını sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü Escher Gödel ve Bach adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın en önemli matematik makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlamıştı(5). Escher'in Resim Galerisi adlı eseri kabaca bu kanıtın görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve ilginç bir resim aynı anlatıma ulaşıyor!
Escher'in eserlerinin açıklığı, kolay okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır. Dikkatli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamı süresince ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher, matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Matematik ve Sanat Üzerine
Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar.

Mathart: Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri (Yoksa sanatın şaşırtıcı sonuçlarından biri mi demeli? Sanatın kendisi zaten şaşırtıcı değil mi?) Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim atanına taşımak istiyorlar. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değer. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya aday.

Kaynaklar:
1- Bool F.H... Escher Complete Graphic Work, Thames and Hudson, 1993
2- Cannon J.W., "Mathematics in Marble and Bronze: Sculptures of Heleman R.P. Ferguson", Mathematical Intelliger, cilt: 13, sayı: 1, kış 1991
3- Coxeter H.S.M, Escher: Art and Science, Elsevier Science Publishers, 1986
4- Fomenko A., Mathematical Inspirations, American Mathematical Society Press, 1990.
5- Hofstadler D.R, Gödel esher and Bach: The Eternal Golden Braid, Vintage Books Edition, 1980.
6- Kappraff J., Conecttons: The Geometric Bridge between Art and Sciences, Mc GrawHill Pub. Co., 1991.
7- Nargel E., Newman J.R., çev: Gözkan B., Gödel Kanıtlaması, Sarmal yayınevi, 1994.

SIFIR'IN TARİHÇESİ "0"


Onluk sistemin bir üstünlüğü, sıfır rakamı için ayrı bir işaretin (sembolün) bulunmasıdır. Sıfır işaretinin, gerektiğinde basamaklara (hanelere) yazılması gerekmektedir. Aksi halde, boş bırakılan basamak (hane) birçok yanlış anlaşılmalara sebep olur. Örneğin : Bugün, rakamla 407 şeklinde yazdığımız, dört yüz yedi sayısını, sıfır işareti kullanmadan, 4.7 veya 4 7 (4 ve 7 nin arası biraz boş bırakılarak) şeklinde göstermek mümkünse de, anlam bakımından birçok karşılıklara sebep olabilir.
Sıfır kavramını (fikrini) ilk olarak, hangi medeniyet içerisinde ve kim tarafından ortaya konulmuş (kullanılmış) olduğunda, kaynaklar hemfikir değildi. Bununla beraber, Eski Hintliler'de, milattan sonra 632 yılından itibaren sıfır için özel bir işaretin kullanılmış olduğunu, zamanımıza kadar intikal eden belgeler göstermektedir.
Eski Hintlilerden kalma kitabelerde (yazıtlarda) görülen, rakam ve işaretler, günümüzde "Hint-Arap sistemi" olarak adlandırılan sisteme göre benzerlik olduğunu, ve nümerik (terkiym) sistemin, o devirde kullanıldığını göstermektedir. Daha sonraki yıllara ait kitabeler, sayılarda, rakamın kendi zat'i değeriyle vaz'i (konum) değeri, (yani sayı içindeki anlam değeri) arasındaki bağıntının bilindiğini, sıfır anlamını veren, "0" gibi bir işaret kullanıldığını da göstermektedir.
Sıfır için, ayrı bir özel işaretin bulunuşu ve basamak fikrinin ustaca kullanılışı, onluk sistemi (decimal), sadece matematiğin değil, ilim dünyasının, en elverişli sistemlerinden biri yapmıştır. Onluk sistemin bu hali için, Fransız matematikçi Pierre Siman Laplace (1749-1827), bu konuda "Dünyanın en faydalı sistemlerinden biridir." demektedir.

ESKİ HİNT MEDENİYETLERİNDE SIFIR

Romalı ve Çinlilerin eksine, Eski Hint alimleri, aritmetik işlemleri, özel bir harf ve işaret belirtmeden, sadece 1 den 9 a kadar olan rakamlardan istifade ederek yazarlardı. Rakamla, hesap yapmanın tek örneği olan, bu pozisyonun tespiti ve yazılması merhalesine ulaşanlar, sadece Eski Hintliler ve Mayalardı.
Kaynaklar; Hindistan'dan, 300 yıl kadar önce, sayı işaretinin, rakam şekline dönüşmeye başladığını belirtmekte. Hintliler, en geç, 6. yüzyıla doğru, belki de biraz daha önceki tarihlerde, aritmetik işlemlerde, sadece 1 den 9 a kadar devam eden dokuz ayrı rakam halinde kaldılar. Böylece, hesap işlerinde, sağdan sola doğru çoğalan (yükselen) rakamlar, ilk olarak ortaya çıktı (görüldü). Bu rakamlar, hemen hemen 622 yılından itibaren Hindistan dışında da tanınmaya başladı. Fırat'ta bir okul müdürü, aynı zamanda da manastır idarecisi olarak çalışan Suriyeli alim Sevarus Sabokht : "Bilinen bütün usullere üstün olan, Hint hesabının, yani dokuz ayrı rakamın (işaretin) maharetli usulünden bahseder" Bu durum, Hint rakamlarının mahzar olduğu ilk taktirdir. S. Sabokht, bu dokuz ayrı rakamlarla, yeni bir usul dahilinde hesap yapabildi.
Ancak; bu dokuz ayrı rakam, bazı sayıları ifade etmeye yeterli gelmiyordu. Çünkü; üç bin yedi yüz elli dört olan bir sayıyı 3754 şeklinde belirtmek mümkündür. Değeri üç yüz sekiz olan bir sayının da, 38 şeklinde meydana çıkmaması için, noksan (boş) kalan onlar basamağına (hanesine) değişik bir işaretlemenin yapılması zorunludur. Noksan (boş) kalan, basamağı (haneyi) işaretleyip, belirtmek için "boşluğu" şekillendirmek, anlamlandırmak zorundaydılar. Noktayı "sunya" veya "sunyabinde" , boşluk veya içi boş yuvarlağı da "kha" kelimesi ile adlandıran Hint alimleri, boş kalan basamağa (haneye), sembol olarak "daire" veya "nokta" şeklinde yeni bir sembol verdiler.
Düşünce tarihin en önemli olaylarından biri sayılan, bu sayı yazısına, son mükemmeliyeti Hintliler'in vermiş olduğu ortaya çıkmaktadır.
O halde, menşe itibariyle, sadece, basamak sistemi içinde, noksan basamağa (haneye) gerekli işaret olarak başvurulan bu sembol, yani bugünkü ifadeyle "sıfır" rakamı, derhal müstakil bir sayı şeklinde, ilk olarak Hint hesabında ortaya çıkmıştır.
Bu sayı işareti, yani "0" (sıfır) veya "." (nokta) anlamındaki işaret, miladın 400. yılında, ilk defa Hint yazılı eserleri içinde görülmeye taşlar. Hint Dünyası'nın, ünlü matematikçi ve astronomu Brahmagupta (598-660) , 632 yılında yazdığı, astronomi konuları ile ilgili Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı sayı işareti ve sıfır ile birlikte hesap yapmaya dair kaideleri göstermiştir.

TÜRK-İSLAM DÜNYASINDA SIFIR

773 yılında, Kankah isimli Hintli bir astronom, Halife el-Mansur'un (754-775), Bağdat'taki sarayına gelir. Zamanın ünlü İslam alimi İbn'ül Adami, astronomi cetvelleri ile ilgili eserinde, ilim tarihi için önemli olan bu olayı, "İnci Gerdanlık" başlığı altında şöyle açıklar;
"Hicretin 156. (773) yılında, Hintli bir alim elinde bir kitapla, Halife el-Mansur'un huzuruna çıkar. Kardağa'ların Kral Figar adına istinsah ettikleri bir kitabı, Halifeye sunar. El-Mansur, bu eseri, hemen Arapça'ya çevrilmesini ve gezegenlerin hareketleri ile ilgili bir eser yazılmasını emreder... Bu görevi, Muhammed bin İbrahim el-Fezari üzerine alarak 'Astronomlar Nazarında Büyük Sinhind' adlı bir eser yazar. Bu eserin etkinliği, halife el-Memun zamanına kadar sürer. Eseri, Muhammed bin Musa el Harezmi, astronomlar için yeniden hazırlar (yazar). Sinhind Metodunu uygulayan astronomlar, eseri çok beğenirler ve konusunun süratle yaygınlaşmasını sağlarlar."
Hintli alimin, beraberinde Bağdat'a getirdiği ve onunla, önce Halife el-Mansur'un ilgisini çektiği kitap, gerçekte Brahmagupta'nın Siddhanta adlı eserinden başka bir eser değildi. Sinhint adıyla Arapçaya çevrilen bu eser, zamanın halife ve alimleri arasında, hemen ilgi görüp süratle yayıldı.
Harezmi tarafından yeniden hazırlanan söz konusu eser, İngiliz tercüman Baht'lı Adelhard tarafından, zamanın ilim dili olan Latinceye tercüme edildi ve Batılı alimlerin istifadesine sunuldu. Bu tercüme kitap; Hint sayılarını açıklayan, Hint hesabını, sayı yazısını, toplama ve çıkarma, ikiye bölme, iki misli artırma, çoğaltma ve bölme ile kesir hesabını öğreten Hesap Sanatına Dair adlı ikinci eserdir.
Bu Latince tercüme eser, önceleri İspanya'ya gelir ve 12. yüzyıl başlarında, Orta Avrupa'ya geçerek yaygınlaşır.
Hint alimleri, daire şeklinde gösterdikleri ve bugünkü ifadeyle "0" (sıfır) olarak adlandırılan kelime için, bir şeyin hiçliği ve boşluğu anlamını ifade eden "sunya" adını vermişlerdir.
İslam alimleri (Araplar) da bu işareti ve anlamını öğrenince; Arapçada boşluk anlamına gelen "es-sıfır" adını vermişlerdir.
Leonardo, es-sıfır kelimesini Latince'ye tercüme ederek Latince metinlerde cephrum şeklinde Latince'leştirdi.
Daha sonraki yıllarda, Avrupa'nın değişik memleketlerinde, değişik yazım (imla) şekilleri kazanmıştır. Bunlardan :
Leonardo'nun eserine istinaden, önce zefero, daha sonra da zero yazım şeklini aldı ( Livra kelimesinin zamanla lira yazım şeklini alması gibi.)
Fransa'da ise; gizli işaret anlamına gelen chiffre şeklinde adlandırılan cephirum kelimesi, chiffer = hesap yapmak şeklini alarak, yaygınlaşmaya devam etti.
Batı'da, İtalyanca aynı anlama gelen, zero kelimesinin kabülü sonucu, bu kelimenin iki ayrı anlamı sebebiyle İngiltere'de cipher ve zero şeklini aldı.
Almanya'da da, ziffer yazım şeklini aldı. 14. yüzyıldan sonraki yıllarda da ziffern yazım şeklinde kullanılmaya başlandı.
Saverus Sabokht, Brahmagupta ve Harezmi isimleri, Arap rakamlarının, Batı'da görülmesinde birbirini takip eden üç isim olarak karşımıza çıkmaktadır.
Batı literatüründe "Arap Rakamları" olarak bilinen, İslam Dünyası rakamlarının, sıfır "0" dahil olmak üzere, on ayrı şeklini Batı'ya ilk defa öğreten, papalık tahtının şair ve matematikçisi Gerbert olmuştur. Gerbert'in etkisi tam sekiz yüz yıl devam etmiştir.
Gerbert, öğrenimini Aurlillac Klisesinde tamamlamıştır. Burada edindiği bilgiler sonucu, birçok matematikçinin dikkatini çekti. Sonuçta da, matematik araştırmalarını hızlandırdı. İstinsah faaliyetlerini çoğalttı. Gerbert, hakkında değişik rivayetler vardır. Bu rivayetler hakkında, geniş bilgi, müsteşrik Sigrid Hunke tarafından hazırlanan İslam'ın Güneşi Avrupa'nın üzerinde eserde bulunmaktadır. Bu rivayetlerden birisi şudur :
Gerbert, sıfır kavramını bilmiyordu. Mesela 1002 sayısında sıfır 0lmayınca, yazılanların anlaşılması mümkün değildi. Gerbert ve öğrencileri, sıfır hakkında, herhangi bir bilgiye sahip olmadıklarından, yapılanların manasını kavrayamadıkları anlaşılmakta. Gerbert, sayı yazısını, Batı Arapları'ndan getirir. Araplardan, İspanya seyahati sırasında öğrendiği sanılmaktadır.
Gençliğinde itibaren, Hindistan'ın bir ucundan öbür ucuna yaptığı bir çok seyahatlerle, Hint dilini ve ilmini tam anlamıyla Öğrenen Gertert'in çağdaşı olan Beyruni'den o sıralarda, Hindistan'da yazılmış harf şekillerinin ve ilk rakam şekillerinin diğer memlekete geçince, değiştiğini öğreniyoruz, Beyrurıi, Araplar'ın, Hintliler'den en elverişli rakamları aldıklarını açıklar. Araplann birbirinden farklılık gösteren iki çeşit , Hint sayı yazısını kullandıklarını, Harezmi de açıklar.
Harezmi tarafından, 830 yılında yazılan eserin ilk kopyaları, Viyana Saray Kütüphanesinde bulunmaktadır. Bu elyazmaları (manüskri), 1143 tarihini taşımaktadır. Salen Manastırı'nda bulunan ikinci bir kopya ise, bugün Heilderburg'ta muhafaza edilmektedir.
Avrupa, ilim dünyasında sunulan bu önemli belge ile, Araplar'ın, önce birler basamağından başlayarak, rakamları sağdan sola doğru yazıp okuduklarını, bu eserden öğrenir. Harezmi'ye ait bu eserde; toplama ve çıkarma işlemlerine ait örnekler görülmektedir.
Latince tercümesinde, bugünkü yazım şekline göre, "0" (sıfır) a ait bir örnek Şöyledir :
38-18=20

"Sekiz diğer sekizden çıkınca, geriye bir şey kalmaz. Bu takdirde, boş kalmaması için, bir dairecik koy. Dairecik, boş hanenin yerine geçmek zorundadır. Eğer bu hane boş kalırsa, diğer haneleri de tahdit edilmiş olurlar. Artık ikinci hane, birinci hanenin yerini tutar. Yani; ikinci hane, birinci haneden başka bir şey değildir."
Bugünkü bilgilerimize göre basit gibi görünen, ancak zamanın matematik görüşü olarak son derece önemli olan bu açıklamanın böyle olması düşünüldüğünde, Harezmi'nin görüşü olan açıklamanın önemi kendiliğinden ortaya çıkar. Şöyle ki; sıfır, ilk basamağın aksine, sola konsaydı, "02" gibi bir sayı elde edilir ki, ikinin solundaki sıfır sonucu değiştirdiğinden, Harezmi'nin matematik görüşünün zamanı matematik bilgileri karşısındaki önemi açık olarak ortaya çıkar.
Brahmagupta'nın ,Siddahta adlı eseri, 776 yılında, Saverus'tan 114 yıl sonra, Arapça'ya çevrilen bir eserinin içinde yer almıştır. Gerbert'ten yüz yıl sonra, Harezmi'nin Latince tercümesi, Orta İspanya yoluyla Batı'ya ulaşır.
Bu tarihlerde, "Arap Sayı Yazısının", ilim dünyasındaki zaferine çığır açan başka bir şahıs ile karşılaşıyoruz.
Pizza'lı Leonardo (1180~ ?) ; matematik bilgisinin, esaslarını bizzat, ilk kaynaklarından, yani Mısır'a yaptığı uzun süreli seyahatler sonucu elde etmiştir. Elde ettiği bilgileri de, Batı'ya öğretmiştir. Leonardo'nun babası, Cezayir sahillerinde ticaret işleri ile meşgul idi. İslam medeniyetinin etkinliğini gören, baba Leonardo, oğlunu yetiştirmek için yanına çağırır. Oğlu Leonardo Hint, yani Arap (İslam) rakamları ile hesap yapmaya hayran kalır. Hint hesap sistemlerinin, her türlü uygulamasını öğrenir. Bu arada, İskenderiye ve Şam kütüphanelerinde, eline geçirebildiği ilmi değeri olan eserleri de toplayıp, Avrupa'ya götürdüğü tarihi bir gerçek olarak bilinmektedir.
Oğul Leonardo, İslam (Arap) hesap öğretmenlerinden, öğrendiği bütün bilgileri sıfır rakamı dahil olmak üzere, çevresindekilere, uygulamaları ile birlikte öğretir. Oğul Leonardo'nun bu öğretisi sırasında konu ettiği rakamlar, bugünkü gösterim şekliyle şöyledir;
Bu rakamlar, Arapçada "sıfır" adı verilen "." işareti ile her türlü hesabın yapılabildiğini açıklar.
Matematikte; bugün Türkçe'mizde gösterim şekli olan, "0" (sıfır), Arapça'da gösterim şekli olan "." (sıfır) sembolü ile, Türkçe yazım §ekli olan "sıfırı" ve aynı anlama gelen, diğer Batı dillerinde kullanılan ve "rakam" ve "yazım" şekillerinin tarihi gelişimleri, ayrıntılı olarak incelemeye değer bir konudur.

SIFIRIN TARİHİ KRONOLOJİSİ

M.Ö. 3000 yılları : Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır.
M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır.
M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan'da, Batlamyos'un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmışlardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir.
M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır.
M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta'nın astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir.
M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir.
M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar.


Pİ SAYISI-2


Pi sembolü, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı.Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.

Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828... sayısı için, L. Euler'in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir. İnsanoğlu; daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerleğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların gözbebekleri ile gökyüzündeki Güneş ve Ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük. Görüyordu ki (sezinliyordu ki), dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse, çevresi de o kadar büyüyordu. Sonra gene düşündü, cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu.

Demek ki; bugünkü gösterim şekliyle, bu sabit orana dersek; Çevre/Çap = sabit. Şeklinde yazılabiliyordu. Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu. Pi sayısına ait ilk bilgilerin Eski Mısırlılar'da mevcut olduğunu görüyoruz. Mısırlılar, yüzey ve hacım hesapları yaparken, sayısına ait yaklaşık değer kullanmışlardır. Eski Mısırlılar'dan kalma, bazı papirüslerin, özellikle, Rhind Papirüsünün değerlendirilmesi sonucu, daire alanı için, bugünkü gösterim şekliyle : A = [1-(1/9)]2 .R2 (1) Formülünü kullandıkları anlaşılmaktadır. (Burada R yarı çapı göstermektedir.) Bu formül, yarıçapı cinsinden düşünüldüğünde, bugünkü gösterim ve düşünce şekline göre : .r2 = (8/9)2 .R2 (2) Şeklinde yazılabilir. Burada, 1 birim yarıçaplı çember düşünerek, r ve R için bilinen değerleri yazarsak : = 4.(8/9)2 = (16/9)2 (3) Sonucu Elde edilir. Bu durumda; Eski Mısırlılar'ın, için, 4.(8/9)2 değerini kullanmış oldukları anlaşılmaktadır. (3) değerini, ondalık kesir şeklinde düşündüğümüzde : = 4.(8/9)2 = 4.(64/81) = 3,1604 (4) Elde edilir. Fakat, için bazen kısaca 3 değeriyle de yetinildiği oluyordu. Bu durumda; bugünkü gösterim şekliyle düşünüldüğünde, Eski Mısırlıların, sayısı kavramını bildikleri ve değeri için 3,160 değerini Archimides'ten 2700 yıl kadar önce kullanmış oldukları anlaşılmaktadır. Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Acaba, Eski Mısırlılar, sayısının bu değerini hangi düşünceler, ya da ihtiyaçlar sonucu elde edebilmişlerdir? Bu sorunun cevabı hakkında kesin bir yargıya varmak çok güçtür.

Ancak bazı hipotezler (varsayımlar) ileri sürülmektedir. Bunlar : 1) 9 birim değerine eşit bir çapla çizilmiş bir daire ile 8 birim uzunluktaki bir karenin yüzölçümleri arasındaki pratik (amprik) karşılaştırmanın bu konuda esas olarak alınacağı farz edilmiştir. Bugünkü notasyonla ; k bir katsayıyı, R daire çapını, a kare kenarını göstermek üzere yazılırsa ; k.(R/2)2 .a2 yazılabilir. Buna göre a = 8 birim, R = 9 birim kabul edilirse, sayısını temsil eden değer : k.(9/2)2 = 82 k = 82 .(2/9)2 k = 64.(4/81) ise k = (256/81) = 3,1604... elde edilir. Bu hipotez doğru ise, Eski Mısırlılar bu sonuca nasıl varmışlardır? Bunun, meşhur "Bir daireye eşdeğer kare çizmek" problemi ile ne derece bir ilişkisi vardır? Bunu bilemiyoruz. Bunun hakkında kesin bir hüküm vermek bugün için mümkün değildir. 2) Ayrıca şöyle bir varsayım da ileri sürülmüştür; sayısının değeri, M.Ö. 2800-2700 yıllarına ait, Gize Kasabası yakınlarındaki büyük Keops Piramidi'nin ölçülerine göre de hesaplanabilmektedir. Keops Piramidi üzerinde yapılan incelemeler, bu piramidin inşa edildiği tarihte, bugünkü ölçü birimi i1e 232,805 metre kenarlı bir kare tabanı olduğu ve 148,208 metre yüksekliğinde bulunduğu izlenmiştir. Tabanın Çevresi : (4x232,805) = 931,22 metre olacağından, bu çevrenin yükseklik değerinin iki katına bölünmesiyle : (931,22)/(2x148,208) = 3,14159 Sayısı beş ondalıklı yakınlıkla, sayısının bilinen değerini vermektedir. 3)

Başka bir araştırmada da; Keops Piramidinin tabanı olan karenin kenarı 440 Eski Mısır kulacı, yüksekliği de, 280 kulaç değerini vermektedir. Bu sayılara göre : için : (Taban Çevresi)/(yüksekliğin İki Katı)=(4x440)/(2x280)=22/7 Değeri elde edilir. Bu değerin, ancak İskenderiye Okulu (M.Ö. III. yüzyıl) buluşları arasında ve Archimides değeri olarak gösterilmekte olduğu hatırlanırsa, gerçeğin nereden kaynaklandığı ortaya çıkmaktadır. Özet olarak belirtecek olursak; Eski Mısır mühendis ve mimarları, kutsal anıtları olan Büyük Keops Piramidi'nin inşaası sırasında, sayısının değerini biliyorlardı. Mühendislik hizmetlerinde; sayısının değerini maharetle kullanmış oldukları sonucu elde edilmektedir.

Sonuç olarak denilebilir ki; Eski Mıısırlılar'ın, Anıt-Piramit yüksekliği için; kare tabana, çevrece eşit bir dairenin çapını almak suretiyle, adeta mistik bir sayı olan irrasyorıel sayısına büyük önem verme ihtiyacını duydukları ve bu sayede (dolaylı yoldan) bilime hizmet ettikleri görülmektedir. sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak = 3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde nin yani = 3,125 değerine de rastlanılmıştır.

Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, "Mezopatamyalılar'da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum açıkça mevcuttur" der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken için, 3 değerinin kullanılmış olduğunu belirtir. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman = 3,125 değerini uygularlardı. Ancak nin, Mısırlılar'ınkinden ve Susa Tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, İlk önce Archimides tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar'ın, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde için kabul edilen değerin yani 3,125 olduğu anlaşılmaktadır. Kaynaklar sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimides tarafından kullanıldığını belirtir.

Archimides; sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve değerini 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı olarak karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak, Archimides'in gençlik yıllarında Mısır'da İskenderiye'de uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte. Bu öğrenim sırasında, Cona ve Erotostanes adlı iki samimi arkadaş edinmiş olur. Mısırlılar'dan Eratostanes, devrinin büyük bir matematikçisi olup; Cona da, Archimedes'in saygısını kazanmış büyük ve deneyimli bir matematikçi olarak tanınmaktadır. Archimides'in fikri yapılarının temelinde bu iki matematikçiye ait izlerin bulunduğunu belirtmek gerekir. Bu konuda diğer bir gerçek de; Archimides'in sağlığında İskenderiye'de Öklid'den ders aldığı, Öklid'in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir.

İskenderiyeli Tarihçi Herodot (Miladi birinci yüzyıl), metrika adlı eserinde sayısı için verdiği değer 3,58 tam 1/8 dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron'dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerlerle kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron'un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar'dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir. Nasıl bir sayısı? Örneğin : m ve n birer tam sayı olmak üzere, nin değeri m/n şeklinde yazılabilir mi? yani nin değeri rasyonel bir sayı mıdır? Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler. nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde.

Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, İsviçre'li matematikçi Lambert, nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı. Pi sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir problemi de, daireyi kare yapma problemiydi. Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras'tır (M.Ö. 500-428) Bir ara Atina'da, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar. Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde edler. Daha sonra, Kilyos'lu Hippokrates (M.Ö. 5. yüzyıllın ikinci yarısı) , aşağıdaki şekilde taranmış ACBA alanının, AOB üçgenin alanına eşit olduğunu gösterir Buna benzer başka örnekler gösterir ki, belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebilir. 18. yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu.

Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı. 1775 te Euler, 1794 te Legendra, nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler. Fakat nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi. Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, nin üstel olduğunu ispatladı. Aşağıda sayısının ilk 1000 basamağı verilmiştir. Sonsuza uzanan bu yolculuktaki çok çok ufak sayılabilecek bu 1000 basamak bile sayısının muhteşem güzelliğini gözler önüne sermeye yetmiyor mu, ne dersiniz?

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674818467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51870721134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850352619311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 59825349042875546873115956286388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989...

Epimenides Paradoksu


Epimenides paradoksu mantıktaki bir sorundur. Bu sorun Giritli filozof Knossoslu Epimenides'in ardından adlandırılmıştır. 

Filozof şöyle demiştir: Κρῆτες ἀεί ψεύσται, 

"Giritliler, her zaman yalancıdır". 

Problemin bir başka sürümü de Douglas R. Hofstadter'in Gödel, Escher, Bach isimli eserinde bulunur:

Epimenides ölümsüz bir ifadede bulunmuş, bir Giritli idi; "Tüm Giritliler yalancıdır."

Epimenides'in bu ifadesi Epimenides paradoksu olarak adlandırılır. Zaman zaman Yalancı paradoksu veya Giritli paradoksu olarak da anılmıştır.

Paradoks şuradan kaynaklanmaktadır:

Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesini doğru kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in yalancı olması gerekir. EğerEpimenides yalancıysa, tüm söyledikleri gibi, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesinin de yanlış olması gerekir. Önermenin hem doğru hem yanlış olduğu sonucu çıkar.

Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi yanlış kabul edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in doğru söylüyor olması gerekir. Şu halde, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi doğru olmalıdır. Yine çelişkili bir sonuç çıkar.

Bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz.

Burda gözden kaçırılan ve yıllarca matematikçilere yanlış hesaplamalar yaptıran küçük bir püf noktası vardır ve o da şudur:

"Bütün Giritliler yalancıdır" önermesinin tersi

"Bütün Giritliler doğrucudur" değildir. Doğrusu

"En az bir Giritli vardır ki, doğrucudur" olması gerekmektedir

HER kelimesinin tersinin EN AZ BİR cümlesi olduğunun keşfinden sonra matematikdeki bu tıkanıklık aşılmış, ve aslında epimenides paradoksunun aslında bir paradoks olmadığı ortaya çıkmıştır.

Bu bilgi ışığında değerlendirdiğimizde, "Bütün Giritliler yalancıdır" önermesi yanlışsa, "En az bir Giritli doğru söyler" önermesi doğrudur. Bunlardan birinin Epimenides olması mümkün olduğundan, paradoks ortadan kalkar.
 
Copyright © 2011. Matematik Canavarı - All Rights Reserved