PERMÜTASYON (KARİKATÜR)


SUDOKU (OYUN)

ALTIN ORAN VE FİBONACCİ


FİBONACCİ KİMDİR ?

Orta çağ ın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İ talya'nın ünlü
Pisa şehrinde doğ muş tur. Çocukluğ u babasının çalış tığ ı Cezayir'de geçmiş tir. İ lk matematik
eğ itimini Müslüman bilim adamlarından almış ve islam aleminin kitaplarını incelemiş ve
çalı şmı ştır. Avrupa'da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken
Leonarda Arap rakamlarını ve sıfırı öğ renmi ştir.

1201 yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı
yazmı ştır. Bu kitapla Avrupa'ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığ ımız sayı sistemini
tanıtmış tır. Bu kitapta, ilkokulda öğ rendiğ imiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkartma
ve bölme ) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmış tır.

Fibonacci Sayıları

Gelelim Fibonacci'nin ünlü sorusuna ..

"Bir çift yavru tavş an (bir erkek ve bir diş i) var. Bir ay sonra bu yavrular erginle şiyor.
Erginleş en her çift tavş an bir ay sonra bir çift yavru doğ uruyorlar. Her yavru tavş an bir ay
sonra erginleş iyorlar. Hiç bir tavş anın ölmedi ğini ve her diş i tavş anın bir erkek bir diş i yavru
doğ urduğ unu varsayalım.
Bir yıl sonra kaç tane tav an olur?"

1. İlk ayın sonunda , sadece bir çift vardır.
2. İ kinci ayın sonunda diş i bir çift yavru doğ urur, ve elimizde 2 çift tavş an vardır.
3. Üçüncü ayın sonunda, ilk diş imiz bir çift yavru doğ urur, 3 çift tavş anımız olur
4. Dördüncü ayın sonunda , ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğ urur, iki ay önce
do ğan diş i de bir çift yavru do ğurur ve 5 çift tav şanımız vardır.



Bu şekilde devam ederek ş u diziyi elde ederiz:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144

Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin oldu u ay) ile Aralık arasındaki ayların her birinde
kıtır kıtır havuç yiyen tavş an çiftlerinin sayısını vermektedir.
Serinin nasıl oluş tuğ unu anlayabildiniz mi? Bu dizi çok basit ş ekilde oluşmaktadır. Bu
dizideki her sayı (ilk ikisi dış ında) kendinden evvel gelen iki sayının toplamına eş ittir.

Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir? Bunu üç ayrı nedene ba layabiliriz.

1) İ lk olarak dizinin küçük üyelerinin do ğada, beklenmedik yerlerde karş ımıza
çıkmasıdır.; bitkiler, böcekler, çiçekler vb. şeylerle ilgili olarak.

2) İ kinci neden, oranların limit değ eri olan 0,618033989 sayısının çok önemli bir sayı
olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan bu sayı Leonardo da Vinci'nin
resimlerinden eski Yunan tapınaklarına kadar bir çok sanat eserinde ve do ğada
karş ımıza çıkan bir sayıdır.

3) Üçüncüsü ise sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı bir çok kullanımı
olmasıdır.

Fibonacci serisindeki n. terimi Fn olarak ifade edelim.

Fibonacci dizisi bu ekilde F1, F2, F3, ...., Fn,.... olarak yazılabilir. bu dizi sonsuza kadar
devam eder.



E ğer her Fibonacci sayısını bir sonraki kom şusuyla bölerek bu oran yazılırsa,
F1/F2 = 2, F2/ F3 = 1/2 .. şeklinde devam edersek aş ağ ıdaki diziyi elde ederiz.

1,000000
0,500000
0,666666
0,600000
0,625000
0,615358
0,619048
0,617467
0,618182
0,617978
0,618056
0,618026
0,618037
0,618033
0,618034
0,618034
bu sayılar bir 0,618034... sayısına doğ ru gidiyorlar. Altın oran 1,618... ve bu limit de onun
ondalık kısmıdır.

ALTIN ORAN VE HAYVANLAR ALEMİ



İ nsan da oldu ğu gibi hayvanların bir çoğ unda da altın oranı görmekteyiz. Bunlardan bazılarını
görmeden evvel altın cetveli hatırlayalım;


Kısaca;

Mavi çizgi: Beyaz çizginin altın bölümü
Sarı çizgi: Mavi çizginin altın bölüm
Yeş il çizgi: Sarı çizginin altın bölümü
Pembe çizgi: Sarı çizginin altın bölümüdür.


Şimdide bazı hayvanlardaki altın oranları görelim;

Penguendeki altın oran;

Şekilde penguenin farklı gösterilen bölgeleri arasında altın
oran görülmektedir.








Kelebekteki altın oran;

Şekildeki kelebe ğin hem eninde hem boyunda
gösterilen delikler arasında altın oran
görülmektedir.






Yunustaki altın oran;














Yunus balı ğının vücut uzunlu unda göz yüzgeç ve kuyruk oranları altın oranı verir.
Porsal yüzgecindeki boyutlar altın oranı verir.
Şekilde yunusta boyunda burnu ve kuyruğ u arasındaki bölgede, kuyruk bölgesinde enine ve
de süzgeç kısmında altın oran görülür.



Deniz kabuğ undaki altın oran;

Şekildeki deniz kabuğ unda farklı renklerle gösterilmiş
bölgelerdeki altın oranı fark edebildiniz mi?











KAPLANIN YÜZ KESİTİ GENİŞLİK VE UZUNLUK ORANLARI ALTIN ORANI VERİR.















Melek balığınında da belli organları arasındaki oranlar altın
oranı verir.
Resim üzerindeki mavinin sarıya, sarının yeş ile ... oranları altın
oranı verir.







Şaş ırtıcıdır ki karıncalardada bu orana rastlanır resimde görünen
organaller arasındaki oranlar altın orandır. Pembenin yeş ile
sarının yeş ile ... oranları altın orandır.

ALTIN ORANIN ELDE EDİLİŞİ


Altın oranın de ğeri çe şitli yöntemlerle bulabiliriz.

1. Metot: Bir AB do ru parçasını gözümüze hoş gözükecek ş ekilde şekildeki gibi küçük parçanın ( [AC] ) büyük parçaya oranı ( [BC] ), büyük parçanın bütün doğ ruya oranına eş it olacak şekilde bölelim.


Bu ifadeyi denkleme dönü ştürüp, denklemi aş ağ ıdaki gibi çözecek olursak, köklerine

köklerine ulaş ırız. Yalnız bu köklerden 2. kök negatif oldu undan çözüm kümesine onu almayız (hiç bir uzunluk negatif olamayacağ ından), ilk kök ise bizim bize phi diye tanımladı ğımız altın oranı verir.

2. Metot: Hesap Makinesi Metodu

1. Birinci Hesap Makinesi Metodu: İ lk olarak hesap makinesinde 1 tuş layıp onun tersini alalım. Daha sonra buldu ğumuz de ğere 1 ekleyip tekrar tersini alalım. Bu iş leme, ekranda görünen sayının değ eri de ği şmeden belli bir sayıya yaklaşana kadar devam edelim. Bu durumda sayılar birbirine çok yaklaş ıp en son yaklaş ık olarak 1.61803... sayısına yaklaş ır. Bu sayı bize altın oranın değ erini verir.

2. İkinci Hesap Makinesi Metodu: İkinci hesap makinesi metodunda ise, makinede herhangi bir rakam tuş layıp (-1 den büyük olacak ekilde) o sayının karekökünü alalım. daha sonra 1 ekleyip tekrar karekökünü alalım. Bu i leme birinci hesap makinesi metodunda oldu ğu gibi devam edelim. Yaklaş tı ğımız sayı bize yine
1.61803.... sayısını verir ki buda altın orana eş ittir.



ALTIN ORAN


Günümüzde birçok yerde karşımıza çıkan altın orana göz nizamının oranı diyebiliriz. Çoğu zaman doğayı gözlemlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Mesela ideal insanın ölçülerine göre boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten baş ucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Bunu simgelerle belirtecek olursak:
İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden baş ucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi sağlamalı:

                                       x /y =y / (x-y)


İdeal insanda sağlanması istenen bu orana yani x / y oranına altın oran denir. Buradan denklem düzenlenirse  x / y oranı:



Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz:
· Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

· Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu erinin eğrilik açısı altın orandır.

· Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

· Verilen n tane dirençten maksimum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Edeer Direnç altın orana eşittir.



· Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

· Her bir Mısır piramidinin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir.

· Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir.

ALTIN ORAN VE MİMARİ


Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır. Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır: Konya'da Selçukluların inşa ettiği İnce Minareli medresenin taç kapısı, İstanbul'daki Davut Paşa Camisi, Sivas'ta Mengüçoulları'dan günümüze miras kalan Divriği Külliyesi genel planlarından kimi ayrıntılarına dek f ile iç içe bir görünüm sunar.
Eski Yunanda da altın dikdörtgen bir çok sanat dalında kullanılmıştır. Bunlardan bir tanesi de Atina'daki Partenon 'dur. Partenon .Ö. 430 ve ya 440 yıllarında Athena adlı tanrıça için yapılmıştır. Tapınağın orijinal planları elimizde olmasa da , tapınağın uzunluğu genişliğinin kök 5 katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği gözükmektedir. Ayrıca aşağıdaki resimlerde görebileceğiniz gibi tapınakta daha başka altın dikdörtgenlerde göze çarpmaktadır. (altın dikdörtgen kenarları oranı altın oran olan dikdörtgenlerdir.)


Altın oran sadece Yunanlılar tarafından kullanılmamıştır. Mısır'daki Keops piramidinde,
Paris'in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın izlerini görmek mümkündür.









Eski Mısırlılar inşa ettikleri piramitlerde de altın oranı olduğu saptanmıştır. Piramitlerin tabanı ile yüksekliği arasındaki oranın 0.618 ( yani altın oranın deeri )olduğu görülmüştür. Ayrıca piramitlerin dizilimi yani bulunduğu bölgeye yerleşimi de bize altın spirali verir. Bu da şekilde aşağıdaki şekilde açıkça gösterilmiştir.


Sonuç olarak piramitler hem kendi içerisinde hem de birbirleri arasında altın oran içermektedir.




ALTIN ORAN DEĞERİ...

1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622
70526046281890244970720720418939113748475408807538689175212663386
22235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282
90267880675208766892501711696207032221043216269548626296313614438
14975870122034080588795445474924618569536486444924104432077134494
70495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652
17057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053153
17141011704666599146697987317613560067087480710131795236894275219
48435305678300228785699782977834784587822891109762500302696156170
02504643382437764861028383126833037242926752631165339247316711121
15881863851331620384005222165791286675294654906811317159934323597
34949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479
03524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285512
22480939471234145170223735805772786160086883829523045926478780178
89921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267
57560523172777520353613936210767389376455606060592165894667595519
00400555908950229530942312482355212212415444006470340565734797663
97239494994658457887303962309037503399385621024236902513868041457
79956981224457471780341731264532204163972321340444494873023154176
76893752103068737880344170093954409627955898678723209512426893557
30970450959568440175551988192180206405290551893494759260073485228
21010881946445442223188913192946896220023014437702699230078030852
61180754519288770502109684249362713592518760777884665836150238913
49333312231053392321362431926372891067050339928226526355620902...

Altın Oran ve Leonardo da Vinci


Mona Lisa'nın başının etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dört kenar bir altın
dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine
bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.










Bu tamamlanmamış resimde, aziz altın dikdörtgenin içine sığmaktadır. Bunun bir tesadüf olmadığı, Leonardo da Vinci'nin matematiğe olan ilgisini resme taşıdığına inanılmaktadır.


ALTIN ORAN (SLAYT)

Bu slaytı slideshare linkini tıklayıp save butonu ile indirebilirsiniz.

ALTIN ORAN VE İNSAN


Altın oran ve insanı incelemeden evvel resimlerdeki renklerle insanda altın oranın nasıl oluştuğunu anlayabilmek için, renklerin anlamını görelim.
Öncelikle bir altın cetvel oluşturalım, ve buna göre resimlerdeki altın oranı inceleyelim.
Altın cetvel oluşturmak için;


Şekildeki gibi öncelikle bir doğru parçasını ( beyaz ) altın oran oluşturacak şekilde iki
parçaya [AB]'e ( mavi ) ve [AC]' ye ( sarı ) bölüyoruz. Ve aynı mantıkla hareket ederek [AB]
doğrusunu da iki altın parçaya bölüyoruz ve bunu devam ettirerek şekil 2 deki doğruları elde
ediyoruz.


Kısaca;

Mavi çizgi: Beyaz çizginin altın bölümü
Sarı çizgi: Mavi çizginin altın bölüm
Yeşil çizgi: Sarı çizginin altın bölümü
Pembe çizgi: Sarı çizginin altın bölümüdür.

ALTIN ORAN VE İNSAN
İnsan parmaklarında görülen altın oran;










Şekilde işaret parmağınızın her bölümü bir öncekinden 1,618...( yani altın oranın değeri )
kadar büyüktür ve üstteki cetvele dikkat ederseniz her bölüm 2, 3, 5, 8 e yani ardışık fibonacci
sayılarına karşılık gelmektedir. Şekilde pembe, yeşil, sarı ve mavi çizgiler altın oranı gösterir.

İnsan kolunda görülen altın oran;









Şekilde görüldüğü üzere elimizin, dirseğimizle bileğimiz arasında kalan bölgeye oranı 1,618
dir. ( beyaz çizginin mavi çizgiye oranı )





İnsan yüzünde görülen altın oran;

Şekildeki resimde de gördüğünüz gibi kafa bir altın dikdörtgenin içinde. Kulaklar arasındaki mesafe, gözle üst dudak arasındaki, burnun altı ile çene arasındaki mesafe (resimde mavi çizgi ile gösterilmiş) hep altın oran içermektedir. Resmi incelerseniz daha başka altın oranlar da görebilirsiniz. Bunlarda sarı ve yeil çizgilerle
gösterilmiştir.




Ayrıca aşağıdaki resimlerde de daha ayrıntılı şekilde inceleyebiliriz.













İnsan vücudunda gösterilen altın oran;

Şekilde; mavi çizgi (beyaz çizginin altın bölümü), insanın başından ellerine kadar olan uzunluğunu, sarı çizgi (mavi çizginin altın bölümü), insanın başından dirseklerine olan uzunluunu, yeil çizgi (sarı çizginin altın bölümü), insanın başından omuzlarına kadar olan mesafeyi ve dirsek uzunluunu, pembe çizgi (sarı çizginin altın bölümü), insanın başından çene altına kadar olan mesafeyi ve karın geniliini ifade etmektedir.







ALTIN ORAN NEDİR ? - 2


Dünyanın, insanların, bitkilerin, ağaçların..., kısacası Kainat'ın yaratılışında yaratıcının kullandığı orandır.
Aynı zamanda insanlar da teknolojide ve hayatta bu oranı kullanmaktadırlar. Kısaca biz altın orana "göz nizamının oranı" diyebiliriz.
Çoğu zaman doayı gözlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz.

ALTIN ORAN'IN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER
      
Ayçiçeği:

Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının
birbirine oranı altın oranı verir.


Papatya Çiçeği:

Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.

İnsan Kafası:

Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası
denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir
eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın
oranı verecektir.


İnsan Vücudu:

İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüüne bakalım:
a) Kollar:
İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır (Büyük (üst) bölüm
ve küçük (alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı
verecei gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.
b) Parmaklar:
Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka...
Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi,
parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.


Tavşan:
İnsan kafasında olduu gibi tavşanda da aynı özellik vardır.



Mısır Piramitleri:
Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.

Leonardo da Vinci:

Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. imdi bu ünlü ressamın çizmi
olduğu tabloları inceleyelim.
a) Mona Lisa:
Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.
b) Aziz Jerome:
Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.


Picasso:

Picasso da Leonardo da Vinci gibi resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

Çam Kozalağı:

Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka
bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın
orandır.

Deniz Kabuğu:

Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz
kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran
olduğu görülmüştür.


Tütün Bitkisi:

Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın
orandır.

Eğrelti Otu:

Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

Salyangoz:

Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (-ki biz bu
dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz.-) işte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın
oranı verir.

Mimar Sinan:

Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve
Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir.












ALTIN ORAN NEDİR ?


Altın orana ili kin matematik bilgisi ilk kez .Ö. 3. Yüzyılda Öklid’in Stoikheia
("Öğ eler") adlı yapıtında "aş ıt ve ortalama oran" adıyla kayda geçirilmiş tir. Eldeki veriler,bu
bilginin geçmiş inin aslında Eski Mısır’da M.Ö. 3000 yılına kadar dayandığ ını göstermektedir.
Grek dünyasına da Pythagoras ve Pythagoras’cular tarafından tanıtıldığ ı ileri sürülür.
Altın oran, (Fi) sayısı olarak bilinir. Bu sayı, Eski Yunan dü şünürleri tarafından
bulunmu ştur, ancak Fi sayısını kimin tanımladığı kesin olarak belli değ ildir. Eski Yunan
düş ünürlerinin bazılarının, Fi sayısının yerine (to) sayısını kullandıkları da bilinmektedir.
M.Ö. 500’lü yıllarda yaş amı olan tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri
olan Pisagor (Pythagoras), altın oranla ilgili a şa ğıdaki düş üncelerini dile getirmi ştir:
Bir insanın tüm vücudu ile göbeğ ine kadar olan yüksekliğ inin oranı, bir pentagramın
uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi
aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın
küçük parçaya oranına eş ittir.
Altın oran, günlük yaş antımızda, matematiğin estetik güzelli ğe etki ettiğ i her alanda
karş ımıza çıkan bir kavramdır. Altın oranın çok çeş itli tanımları verilebilir ama altın oran,
neticede matematiksel bir kavramdır ve de ğeri de 1,618033.... olarak devam eden ondalık bir
sayıdır. Altın oranın matematiksel anlamına geçmeden önce altın oranın karş ımıza çıktığ ı bazı
alanlara değ inelim.
Altın oran, örneğ in bir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için uzun kenarı ile
kısa kenarı arasındaki orandır. Buna benzer olarak, bir do ğru parçasının ikiye ayrıldığında
göze en ho ş gelen ikiye ayrılma oranıdır. Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğ ru için değ il,
neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir.
Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir:
Altın oran, 1 sayısına eklendi ğinde kendi karesine e şit olan iki sayıdan biridir. Altın
oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğ inde kendi karesine
eş it olan di ğer sayı da - 0,618033... olarak devam eden ondalık sayıdır.

Altın Oran ve Doğa


Altın Oranın matematiksel özelliklerini gözlemlemek ve hele bunların ortaya koyduğ u görsel harmoniyi algılamak muhakkak ki son derece doyurucu bir deneyimdir. Altın oran, sayısız mimar için bir yapının her yanına yayıldığ ında, bütüne harmoni ve insancıllık niteliğ i kazandıran bir temel ölçü olarak hizmet görmü ştür.
















































Altın Oran ve DNA


Tüm hayatın programı olan DNA molekülünde altın oranın temelini olu turur.

Ç FT HELİ KS SPİRALİ N BOYU 34 ANGSTROM
GENİŞ LİĞİ 24 ANGSTROM DUR.

34 VE 21 ELBETTE Kİ F İBONACC İ SERİ LERİ NDEK İ
ARDI ŞIK SAYILARDIR.
ORANLARI 1.61904761904... SAYISI YAN İ ALTIN
ORANI VER İR.

Altın Oran ve Bitkiler


E ğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar, hiç bir yaprak alttaki yaprağ ı kapmayacak şekilde dizilmiş tir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güne ış ı ğın eş it bir şekilde
payla şıyor ve yağ mur damlaları bitkinin her bir yaprağ ına de ğebiliyor.
Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağ acın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz. Eğ er yapraklardan biri ba langıç noktası olarak alınırsa ve bundan baş layarak, aş ağ ıya ya da yukarıya doğ ru, baş langıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değ i şik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.
Mesela, üstteki resimde en baş taki dalı incelersek, ba langıç noktası olarak 1 numaralı yaprağ ı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir baş ka yaprakla karş ılaş abilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğ er bu dönüş ü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardış ık Fibonacci sayılarıdır.
Üstteki resimde yer alan dalı inceledi ğimizde ise 8 yaprak üstünden geçtiğ imiz 5 tane saat yönünde dönü ş yaparız. Saat yönünün ters istikametinde ise bu dönü ş sayısı 3 olacaktır.


3, 5, 8 ise ardış ık Fibonacci sayılarıdır. Ardış ık Fibonacci sayılarının birbirine oranı altın orana yaklaş tığ ından bahsetmiş tik. Demek oluyor ki bitkinin yapraklarının çıkı şında bile altın oran görülür. Bunu üsteki bitki için öyle de yazabilirsiniz. 3/5 (saat yönündeki dönüş baş ına yaprak sayısı)



ALTIN ORAN VE AYÇİÇEĞİ



ALTIN ORANI ayrıca çiçeklerin tohumlarında da görülebilir.
E ğer bir papatyanın ve ya bir ayçiçe inin çiçek kısmını
büyütseniz muhtemelen yandaki resme benzer bir görüntü elde
edersiniz.
E ğer ş ekildeki modelde, saat yönünde olan ve saat yönünde
olmayan sarmalları sayarsanız, 21 ve 34 sayılarını elde
edersiniz ki bu sayıların oranı altın oran olan sayısına eş ittir.
ALTIN ORANI sadece ayçiçeklerinde veya papatyalarda değ il,
bir kıvırcığ ın yapraklarında bir ananas ve ya kozalakların kat
kat kabuklarında, so ğanın katmanları arasında da rastlayabilirsiniz.
İş te a şağ ıda kozalaklar ALTIN ORANI çok açık bir şekilde gösterirler. Kırmızı ve yeş il spiralleri sayın ve oranlayın.



Altın Yıldız






Yıldızın kolları, tabanı olu şturan FKJHG be şgeninin kenarlarından yukarıya do ğru kıvrılıp
birleş tirilirse olu şan piramidin yüksekli ğinin, taban çevreleyen çemberin yarıçapına oranı q
dır.

Altın Üçgen


Tepe açısı 36° olan ikizkenar üçgene Altın Üçgen denir. Çünkü, uzun kenarın taban kenara
oranı altın oranı verir.

























Altın üçgen içine çizilen gitgide küçülen Altın Üçgenlerin köş elerinde eş it açılı logaritmik spiral geçer.

Altın Dikdörtgen


Altın Dikdörtgen: Küçük kenarı uzunluğ unda kare çıkarıldı ğında geri kalan küçük dikdörtgenin kenar uzunlukları oranı kendisininkiyle aynı olan dikdörtgendir.

ABCD altın dikdörtgeninde BO doğ rusu DC kenarının altın kesitinde geçer ve AC kö şegenine diktir.
ABCD altın dikdörtgeninde sırasıyla E, F, G, H, ... noktalarının çizilmesiyle gitgide küçülen (alanları qEF, ... do ğru parçalarının oluş turduğ u ekle dik çizgili bir sarmal (spiral) denir.







A, B, C, E, F, G, ... noktalarından geçen eş it açılı logaritmik spiral için ve q = 73° dir.

Paradokslar


Paradokslar
AMAÇ
Kendi kendisiyle çelişen ifadeler gibi görünen paradoksları tanıtmak ve varsa çözüm veya çözümsüzlüklerini ortaya koymak.

ÖN BİLGİLER
Bir alanı daha mı iyi tanımak istiyorsunuz? O alanın özelliklerini daha iyi kavramak, kolay kolay yakalayamayacağınızı düşündüğünüzü daha çok ayrıntısına dokunabilmek, söylemine girerek o alanı gerçekten içselleştirebilmek mi istiyorsunuz? O halde hiç durmayın, o alanda ortaya çıkmış paradokslara yanaşın. Hatta, o alanda gizli saklı kalmış olası paradoksları görmeye, ortaya çıkarmaya çalışın.

Paradokslar Türkçe'de zaman zaman ''çatışkı'' sözcüğü ile ifade edilir. Yunanca ''karşı, karşıt, zıt'' anlamına gelen para önekiyle, ''fikir, düşünce'' anlamına gelen doxos sözcüğünden oluşmuştur. Böylece genel kabul görmüş, yerleşmiş, kökleşmiş bir fikre, düşünceye, kanıya olan aykırılığı karşıtlığı dile getirmektedir. İşte burada asıl sorun bu karşıtlığın neden ötürü ortaya çıktığını anlayabilmektir. Bunun için gösterilecek çaba ise kaçınılmazdır. Mantık oyunları olarak da görülebilecek paradokslar, kendilerini çözdürebilmek için heyecanlandırıcı ve eğlendirici bir serüvenin içine çekerek neredeyse insanı kışkırtırlar. Böylece, ortaya çıkan kabul edilemez saçmalığın arkasında yatan nedeni anlayabilme merakı ve bu garipliği açıklayabilme isteği, tutkulu bir çabaya dönüşerek insan aklının sınırlarını zorlar. Düşünceye yeni kapılar aralar. Ancak bu düşünsel serüvenin her zaman da eğlendirici olmadığı hatta insanı trajik bir sona sürükleyebileceği de düşünülmelidir; örneğin M.Ö., 6. yüzyılda, Megara'lı Eubulides'in ortaya attığı yalancı paradoksunun (''Giritli Epimenides der ki, tüm Giritliler yalancıdır.'' Önermesiyle ortaya çıkan paradoksun) bir çok antik dönem düşünürünü kızdırmasının yanı sıra Kos'lu Pihiletas'ın erken ölümüne neden olduğu söylenmektedir. Ama gene de, insanın düşünsel serüveninde, düşüncenin gelişimine neden olan, düşünsel birikime katkıda bulunan paradokslar, önemli kavramlara ışık tutulmasını sağlamaktadırlar. Bir paradoksun çözümü \ açıklanması, hatta keşfi \ icadı bile, düpedüz insanın düşünsel bir etkinliğidir ve yoğun bir biçimde kavramların, nosyonların, olguları, ilkelerin ve benzerinin, bunların arasındaki ilişkilerin tüm ayrıntılarıyla derinlemesine irdelenmesinde, bazen de yeniden doğru olarak aydınlatılmasından başka bir şey değildir.

Peki paradokslar ne menem şeylerdir?
Bir kere, paradoksal durumlarda, birlikte gerçekleşmesi beklenmeyen iki olgunun yada birlikte var olması beklenmeyen iki niteliğin bir arada ortaya çıkması söz konusudur, ve bazen de varılan paradoksal sonuç düpedüz mantıksal bir çelişkidir. Burada kabaca geri plandaki paradoksal bir Öyküye dayanan, iki farklı paradokslar yapıdan söz edilebilir. Buna göre bir paradoks kendi kendi ile döngüsel bir çelişki içine giren bir önerme olabileceği gibi, döngüsel bir yapının görünmediği doğrusal olarak ilerleyen bir süreç ile ortaya çıkabilir. Şimdi çeşitli yerlerde karışımıza çok sık çıkan paradokslarla da örnekleyerek bu yapıları keşfetmemize yarayacak düşünsel bir serüvenin içine girmeye ne dersiniz?

UYGULAMA
Tarihe malolmuş ünlü paradoksları, paradoksal yapıtları (ünlü resimler) ziyaretçilere tanıtılmalı ve çözüm yolları sorulmalıdır.

ZENON'UN PARADOKSLARI
1. Aşil İle Kaplumbağa Paradoksu: Aşil ile Kaplumbağa arasında yarış olacaktır. Kaplumbağa yarışa biraz ilerde başlayacaktır, çünkü Aşil kaplumbağadan daha hızlı koşmaktadır. Yarış başladığında ve Aşil, Kaplumbağanın yarışa başladığı yere geldiğinde kaplumbağa biraz ilerdedir. Aşil, kaplumbağanın şimdiki yerine geldiği anda kaplumbağa biraz daha ilerler...bu böyle sonsuza kadar gider ve Aşil, kaplumbağayı hiçbir zaman yakalayamaz.

CEVAP:


Aşil, A1'den A2'ye geldiğinde kaplumbağa A3'dedir. Aşil A2'den A3'e geldiğinde kaplumbağa A4'tedir. Dolayısıyla bir matematikçi kendi düşünsel dünyasında sonsuz tane sayıyı toplayabilir. Ama biz, yaşamda sonsuz tane sayıyı toplayamayız. En azından sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünmek çok zor. Bundan dolayı aşil, kaplumbağayı hiçbir zaman yakalayamaz. Çünkü Aşil sonsuz iş yapamaz.


2. İkiye Bölünme Paradoksu: Zenon yalnızca Aşil'in kaplumbağayı yakalayamayacağını söylemekle yetinmiyor, Aşil'in bir noktadan başka bir noktaya gidemeyeceğini söylüyor.

CEVAP:
Diyelim ki aşil A1 noktasından A2 noktasına gidecek. Aşil A1'den A2'ye gitmek için önce yolun yarısına gitmeli. Daha sonra kalan yolun yarısına... Bu hareket sonsuza değin sürer. Dolayısıyla aşil sonsuz iş yapamayacağından B noktasına varamaz.

3. Hareket Yoktur Paradoksu: Zenon'un bu paradoksuna göre hiçbir şey hareket etmez. Örnek olarak uçan bir ok ele alalım. Okun hareket ettiğini sanıyoruz öyle değil mi? Zenon yanıldığımızı kanıtlıyor.

CEVAP:
Ok her an durmaktadır. İnanmazsanız okun havada bir fotoğrafını çekin. Fotoğrafta topun durduğunu göreceksiniz. Ok her an durduğuna göre hep duruyor demektir.

Okun hareket edebilmesi için en az biran hareket etmesi gerektedir. Oysa durmaktadır. Her an durmakta olan ok hep durmaktadır.

Uzayın sürekli olmayacağını söylemiştik. Uzay küçük, bölünemeyen uzay birimlerden oluşmuştur. Okun bir uzay birim uzunluğunda olduğunu varsayalım. Uzay birim uzunluğundaki ok, bir uzay biriminin içinde hareket edemez. Çünkü okun o uzay biriminde hareket edebilmesi için, okun uzay biriminden daha kısa olması gerekir ki uzay biriminden daha kısa olabilecek nesne olmadığını daha önce söylemiştik.

Her uzay biriminde hareketsiz duran ok, hep hareketsizdir.

Sinemada öyle değil midir. Sinema ekranında yürüyen bir insan aslında yürümeyen binlerce insan resminin gözümüzün önünden hızla geçmesi değil midir? Doğada hareket de aslında hareketsizlik değil midir?

Uçan ok her an durmaktadır. Ama bir sonraki uzay biriminde varolmaktadır.


YUNANLI AVUKAT PROTAGARAS PARADOKS'U
Yunanlı Avukat Protagaras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar. Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir. Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava alamayan öğrenciden ses seda çıkmayınca avukat bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder. Genç avukat bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir. Bu davada mahkemenin kararı öğrencinin bu ücreti ödememesi gerekirken, öğrencinin davayı (ilk davasını) kazandığı anlamına geleceği için, hocasıyla yaptığı anlaşma gereği bu ücreti ödemesi gerekecektir. Diğer yandan, mahkemenin kararı ücreti ödemesi yönünde olursa, hocasıyla yaptığı antlaşma gereği genç avukat bu ücreti ödeyecek midir, ödemeyecek midir?

CEVAP:
Genç avukat bu ilk davasını ya kazanacak yada kaybedecektir. Kazanması halinde ücreti ödemeyecekse ödeyecek, kaybetmesi halinde ise ödeyecekse ödemeyecektir. Bu bir paradokstur. Bu paradokstan kurtuluş hiçbir şekilde yoktur. Paradoksun oluşmasının sebebi aynı önerme iki farklı ölçüt tarafından yorumlanmasındandır.

Birinci ölçüt (anlaşma) ortada iken ikinci ölçüt (mahkeme) devreye sokulmamalıdır.


BERTRAND RUSSELL PARADOKSU
Seville'de bir berber var. Bu berber, o köyde kendini tıraş edemeyenleri tıraş eder, kendini tıraş edenleri ise tıraş etmez. Bu berber kendini tıraş eder mi yoksa etmez mi?

CEVAP:
Kendini tıraş etmezse, kendini tıraş etmeyenleri tıraş ettiği için kendini tıraş etmeli. Kendini tıraş ederse, kendini tıraş edenleri tıraş etmediğinden kendini tıraş etmemeli. Bu bir paradokstur. Böyle bir berber olamaz.


GİRİTLİ EPİMENİDES PARADOKSU
''Bütün Giritliler yalancıdır'' diyen Giritli Epimenides doğru mu söylüyor, yalan mı?

CEVAP:
Eğer doğru söylediyse kendiside Giritli olduğu için kendisinin de yalancı olması gerekir. Eğer doğru değilse ve yalan söylüyorsa o zaman doğru söylemesi gerekir. Çünkü Epimenides Giritli'dir. Bu bir paradokstur. Bu durumda bir Giritli böyle bir söz sarf edemez.


YALANCI PARADOKSU
''Şimdi yalan söylüyorum'' doğru mu söylüyorum, yalan mı?

CEVAP:
Şimdi yalan söylüyorsam o zaman doğru söylüyorum, doğru söylüyorsam o zaman da yalan söylüyorum. Bu bir paradokstur. Bu cümleye sahip kişi saçmalamıştır.


İSTİSNA PARADOKSU
''Bütün kurallar istisnaya sahiptir''

CEVAP:
Bütün kurallar istisnaya sahip ise, bütün kurallar istisnaya sahip değildir. Bütün kurallar istisnaya sahip ise, ki bunu kural söylemektedir. ''Bütün kurallar istisnaya sahiptir'' kuralının da istisnası vardır.

Peki bu istisna nedir? Tabi ki istisnaya sahip olmayan kuralların var olmasıdır. Demek ki, tüm kurallar istisnaya sahip değildir.


TİMSAH PARADOKSU
Nil nehrinde yaşayan bir timsah, bir annenin elinden çocuğu kapar ve annesine çocuğu yiyip yemeyeceğini sorar. Çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu anneye geri vereceğini söyler. Anne çocuğu yiyeceğini söyleyerek bir paradoks oluşturur ve çocuğu kurtarır.

CEVAP:
Annenin bu cevabıyla eğer timsah çocuğu yiyecekse yemeyecek, yemeyecekse de yiyecek duruma düşmüştür. Eğer anne ''yiyeceksin'' cevabını verseydi, çocuğu kurtarma şansı yarı yarıya olacaktı. Çünkü sadece timsahın çocuğu yemeyeceği durum için doğru olacaktı, ve çocuk kurtulacaktır. Diğer durumda ise yiyecektir.


WALT KELLEY PARADOKSU
''Düşmanla karşılaştık ve o biziz.''

CEVAP:
Düşman olması için karşılıklı kişiler veya taraflar olması gerekir. Bu cümlede yalnızca bir taraf olduğu için kendi içinde bir kısır döngüyü oluşturur. Dolayısıyla bu sözü söyleyen kişi paradoks meydana getirmiştir.

Özdeşlik ilkesine aykırıdır. Çünkü; bir şey aynı anda ve aynı koşullar altında başka bir şey olamaz. Yani A, A'dır.

Çelişmezlik, ilkesine aykırıdır. Bu ilkeye göre bir şey ya A'dır, yada A olmayandır.

Üçüncü halin imkansızlığı ilkesine de aykırıdır. Çünkü bu ilkeye göre; bir şey aynı anda aynı koşullar altında hem A, hem de A olmayan olamaz.


DONKİŞOT PARADOKSU
Sancho Pancho, Barataria adasının yöneticisidir. Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır. Doğru söyledilerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır. Günün birinde bir yolcu gelir ve ''ben asılmak istiyorum'' der. Şimdi Sancho serbest mi bırakmalı yoksa asmalı mıdır.

CEVAP:
Her ikisini de yapmaz.


OSCAR WİLDE PARADOKSU
''Günah işleminin tek yolu onu kabul etmektir.''


KATALOGLAR PARADOKSU
Kitaplar çoğalınca kataloglar da çoğaldı. Kataloglar çoğalınca katalogların katalogu yapılmaya başlandı. Bir katalogcu, kataloglar katalogu yapmaya karar verdi. Bu katalogcu, kataloglar kataloguna kendi ismini yazmalı mı, yazmamalı mı?

CEVAP:
Eğer katalogcu, kataloglar katalogu yapmaya karar verirse meydana getireceği tekrar bir katalogdur. Bu katalogun da katalogu yapılacağı için sonsuza dek süren katalog yapma eylemi söz konusudur. Dolayısıyla bu bir paradokstur. Katalogcunun ömrü boyunca bu işi yaptığını düşünürsek, yani katalogları yapan kişi sonludur. Dolayısıyla katalogcunun yapacağı işte sonludur. Bir katalog imalatçısı için söylenen bu cümle geçersizdir diyebiliriz.


FUZULİ PARADOKSU
''Sana kimisi doğru kimisi yanlış deyu söyler, nesin sen haydi söyle doğrusunu, yanlış mısın şair.'' Fuzuli Nedim'e nazire olarak söylediği bu sözde şair doğru mu söylüyor yoksa yalan mı?

CEVAP:
Şair doğrudur. Bu doğruluk mantığın ''yanlış''lığından kaynaklanarak kendini anlatır.


EUBLİDES PARADOKSU
''Yaptığım açıklama yanlıştır.''
''Bu adam yalan söylediğini söylüyor.''

CEVAP:
1- Eğer yapılan açıklama yanlış ise doğru söylüyor demektir. Yanlış söylüyorsa doğru, doğru ise yanlıştır. Dolayısıyla bu cümlede doğru ve yanlış önermeleri yani çift önerme olduğu için paradoks olmaktadır. Böyle bir açıklama yapılamaz.

2- Eğer kişi yalan söylediğini söylüyorsa, yaptığı açıklama doğrudur. Diğer yandan yaptığı açıklamada söylediklerinin yalan olduğunu beyan ettiği için söyledikleri yalandır. Dolayısıyla yalan söylüyorsa doğru,doğru ise yalan koşullarının ikisi de bir arada verildiği için paradoks meydana getirmektedir.

Kişi iki koşulu bir arada kullanmamalıdır.


CÜMLE PARADOKSU
''Aşağıdaki cümle yanlıştır.''
''Yukarıdaki cümle doğrudur.''

CEVAP:
Verilen bu cümlelerde iki önerme vardır. İlk cümledeki önermeye göre aşağıdaki cümle yanlıştır. O zaman kendide yanlıştır. İkinci cümlede doğrudur önermesi devreye girdiği için iki önerme birden sunulmuştur. Dolayısıyla iki cümle bir biriyle zıt (karşıt) anlamlar oluşturduğu için paradoks oluşturmaktadır. Sonuç olarak böyle iki cümle olamaz.


DOĞRU - YANLIŞ PARADOKSU
Ali: ''Mehmet'in dediği yanlış
'' Mehmet: ''Ali'nin dediği doğru.''

CEVAP:
Eğer Ali'nin dediği doğru ise Mehmet'in dediği yanlış, Ali'nin dediği yanlış ise Mehmet'in dediği doğru olmalıdır. Bu anlatım bir paradoksu meydana getirmektedir.

Çünkü bu anlatımda Mehmet'in yanlış söylediği koşulu varken, Ali'nin koşulu sunulmakta. Dolayısıyla paradoks oluşmaktadır. Öyle ise bir koşul varken diğeri olmamalıdır. Bu ifade yanlıştır.

a'ya Bağlı Torus

                                                                   a'ya Bağlı Torus




a'ya Bağlı Tarus

a'ya Bağlı Tarus


Küre


Küre

x2 + y2 + z2 = 9


 
Copyright © 2011. Matematik Canavarı - All Rights Reserved